论文总字数：3228字
摘 要
本文讨论了贝塔分布的距离、最大距离、最小距离及其渐进性,得到了贝塔分布的距离，最大距离、最小距离及其渐进性。关键词： 贝塔分布，距离，参数变化，渐进性
Abstract: In this paper, we discuss the distance of the beta distribution, maximum distance and minimum distance and its progressive, gain the distance of the beta distribution,maximum distance and minimum distance and its progressive.
Keywords: distance,beta distribution, progressive
目 录
- 引言……………………………………………………………………………5
- 相关定义及性质……………………………………………………………5
- 定理及其证明过程……………………………………………………………8
- 结论……………………………………………………………………………16
参考文献…………………………………………………………………………17
致谢………………………………………………………………………………18
1 引言：
在数理统计中，统计推断的一个重要方面就是从已知样本去估计母体的分布，或者推断分布的特征。对于同样的母体分布，当用几种不同的统计方法获得了母体的两个估计分布后，人们往往要对所求的分布进行比较，为此，统计学上引入了许多度量两个分布差异的距离，如距离、距离和全变距离等。
本文主要研究了贝塔分布的距离，最大、最小距离和平均距离。得到较好的结果。
2 相关定义及性质：
定义1 设随机变量的密度函数为
，
其中
,
则称服从参数为的贝塔分布。简记作。当时，贝塔分布退化为以为参数的分布。
定义2 设随机变量分别为具有密度函数，若
，
则称
为的距离，简称为距离。
定义3 设随机变量分别为具有密度函数，并且都存在，
记
，
则称为两个概率密度函数；
记
，
则称为两个概率密度函数；
记
，
则称为两个概率密度函数。
性质 若都存在，则
- ；
- 当时，有：，并且；
- 当时，有：，并且。
证明（1）假设，则有
又有
，
所以
，
，
所以性质得证。
（2） 由定义2可得：
，，
所以
，
由于，所以；。
所以
，
即
，。
所以
；
根据性质和定义3，可得：。
（3）证明过程类似于性质（2），故省略。
根据距离的定义，可得：
则距离为
。
3 定理及其证明过程
定理1 设随机变量，其概率密度函数为， 设随机变量，其概率密度函数为，。则=。且当时，。
证明
，
而
，
所以
，
因而
，
所以
，
由于为参数，为常数，所以为常数。并且当时，。
定理2 设随机变量，其概率密度函数为， 设随机变量，其概率密度函数为，
则
；
且当时，。证明同上。
定理3 设随机变量，其概率密度函数为， 设随机变量，其概率密度函数为，
则
，
证明 由于
。
当时，
，所以，；
当时，
，所以，；得证。
定理4 设随机变量，其概率密度函数为， 设随机变量，其概率密度函数为，，
则
。
且当时，。
证明 由于
，
而
；
令
，，
则
，
，
由于都存在，所以属于正常积分。所以
，
由于，所以，
,
.
由于为参数，为常数，所以为常数。当时，。
定理5 设为两个不同的正参数，为常数。对于随机变量而言，则
，，
试证明：当确定时，
。
且当时，。 证明同上，故省略。
定理6 设为两个不同的正参数，为常数。对于随机变量而言，则
，，。
则当确定时，
。
且当时，。
，
则最大距离
，
，
最小距离
，
证明：由于
。
当时,
，
由于所以；
，；
当时，
，
由于所以；
， 。
结论
本文从距离的定义出发，讨论了分布的距离，最大、最小距离及其渐进性,求出了距离和及它们之间的最大、最小距离，得到了它们的渐进性。
参考文献
[1]徐传胜.贝塔分布的有关性质及应用探讨[J].临沂师范学院报,2001,23(4):6-8
[2]林宋.贝塔分布的拟合参数优化[J].现代制造工程, 2003,75 (4):59-62
[3]蔡择林，李开灿.常见分布的最大距离 [J]湖北师范学院,2007,53(5):513-517
[4]周访滨，朱建军，陈永奇.污染正态分布的熵估算[J].中南大学学报(自然科学),2013,44(3):1269-1274
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