特殊的函数项级数求和问题

论文总字数：4044字

摘 要

关键词：函数项级数，和函数，等比数列，等差数列

Abstract:This paper discusses the issue of summation for several types of special function series, and it explains the way of how to use term by term differentiation and the theory of differential equation to obtain the sum function of these several types of special function series.

Keywords: function series,sum function,geometric progression,arithmetic progression

目录

引言.............................................................4

1 形如的函数项级数的和函数..............................4

2 形如的函数项级数的和函数.............................5

3 形如的级数的和函数..................6

4 形如的函数项级数的和函数........................7

5 形如的函数项级数的和函数.........................8

6 形如的函数项级数的和函数..........................8

结论............................................................10

参考文献........................................................11

致谢............................................................12

引言

级数理论是高等数学的重要组成部分之一，它在生产、生活中运用比较广泛，也是研究函数性质的有力工具之一。其中函数项级数求和问题是级数的基本问题之一，也是比较重要的问题。并且求解函数项级数和函数的方法也比较灵活多变，技巧性也较强。所以掌握一些解题策略和方法也是很重要的。

因此，许多学者通过理解、结构、实例等，从多个方面对函数项级数求和的问题进行了大胆的研究和探索，创造了更有效的解决具体问题的应用价值，也为级数求和问题的进一步发展作出了新的贡献。比如定义法、逐项微分法、逐项积分法、利用傅里叶级数求和、利用留数定理求级数的和等方法.

但通过这些文献的阅读，我们发现，大多研究者都对一般的函数项级数的和函数进行了大量的研究，而特殊的函数项级数很少有研究。本文主要研究特殊的函数项级数的求和问题。

1 形如的函数项级数的和函数

求函数项级数的和函数.

利用等比级数列的求和公式得

,

在时，上式变为

.

通过M-判别法知函数和在上一致收敛.

又复变函数的欧拉公式：有

,

得 , (1)

, (2)

我们可以用上面的表达式(1)和(2)来求形如和的和函数.

例1 求级数和函数

解：由得

,

在(1)和(2)式中，

令得

.

2 形如的函数项级数的和函数

设级数 在内收敛，且可逐项微分，，.其中是等比数列或等差数列. 令, 逐项微分可得

.

(1)若是等比数列，则故

,

解微分方程得 , (3)

特别的，当时，有.

(2)若是等差数列，有则

,

,

解微分方程得

. (4)

例2 设是等比数列，公比为5，是等差数列，公差为5，求级数的和函数.

解: 原级数可化为 ,

在(3)式中令,，在(4)式中令，，得

.

3 形如的级数的和函数

设级数在内收敛，且可逐项微分，，为任意非零实数，其中是等比数列或等差数列, 且，求它的和函数.

(1) 当为等比数列时,设,

对进行逐项微分，

,

即

.

在满足的条件下，

解微分方程得 ,

当时，.

(2) 当为等差数列时, 设,

,

即

,

满足的条件下，解得

.

4 形如的函数项级数的和函数

设级数在内收敛且逐项可微分，是等比数列或等差数列,二阶连续可导，求它的和函数.

(1) 当为等比数列时，设公比为且，

对逐项微分，得 .

(2) 当为等差数列时，设公差为2d，且当时有

,

两边微分得 , （5）

再微分得

,

整理得

,

代入条件，解方程得

.

5 形如的函数项级数的和函数

设级数在内收敛且可逐项微分， 是等比数列或等差数列, 二阶连续可微，求它的和函数.

(1) 当为等比数列时，设公比为且，

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