Henon映射稳定不动点及其不稳定不动点的分岔分析

论文总字数：6405字

摘 要

:Henon映射作为典型的高维离散动力系统其产生混沌的机制至今还没有完全搞清楚。本文借助于正Poincaré映射和逆Poincaré映射建立了Henon映射稳定不动点及不稳定不动点Floquet乘子之间的解析关系，分析稳定与不稳定解分岔机理，指出了Henon映射的稳定解会经由倍周期分岔演变为混沌吸引子，而其不稳定周期1解会经由倍周期分岔演变为周期2解。

关键词: Henon映射，周期轨道，混沌轨道，分岔机理

Abstract：As a typical high-dimensional discrete dynamical systems, Henon map, which can generate chaotic ossillation has not been fully undersood. In this paper, based on positive Poincaré mapping and inverse Poincaré mapping, the analytical expressions of the Floquet multipliers between the stable and unstable fixed point of Henon mapping are established. Meanwhile, the bifurcation mechanisms of the stable and unstable solutions are obtained. It points out that the stable solutions may evolve into chaotic attractors via period-doubling bifurcation and the unstable period-1 solution may lead to the period-2 solution via period-doubling bifurcation.

Keywords：Henon mapping, Periodic orbits, Chaotic orbits, Bifurcation mechanism

目 录

1. 引言……………………………………………………………… 5
2. 预备知识………………………………………………………… 5
3. 分析方法………………………………………………………… 6
4. 数值分析………………………………………………………… 9

结论 ………………………………………………………………… 12

参考文献 …………………………………………………………… 13

1 引言

1976年，法国天文学家M.Henon考虑标准二次映射迭代系统时获得了Henon吸引子[1]，其数学模型如下：

(1.1)

其中为系统状态变量，为系统参数。

它具有某种自相似性和分形性质，此后许多学者对Henon映射的复杂动力学性质产生了浓厚的兴趣，并发现了很多有趣的结论

Marotto[2]用解析方法证明了Henon映射在某些特定参数下存在横截同宿轨并指出了其与数学上所定义的混沌相关；Curry等[3,4]应用特征指数、频谱、Smale定理对Henon映射做了许多数值分析来预测其混沌行为；Gonchenko et al.[5-6] 研究了Henon映射周期解的分岔行为，并证明了其周期解会经由倍周期分岔进入混沌；Lorenz[7]采用随机搜索的方法确定Henon映射混沌行为中的周期窗口。

迄今为止，对Henon映射动力学行为的研究已经取得了大量的结果，但是Henon映射产生混沌的机制至今还没有完全搞清楚，例如对其各种稳定不动点与不稳定不动点的定位、及其相应的分岔机制以及其通往混沌的复杂性道路等问题仍需要深入探讨。

2 预备知识

现在考虑离散-时间动力系统，，这里映射和其逆都光滑。假设是系统的不动点(即)，为在的Jacobi矩阵。的特征值称为不动点的乘子。注意，由于可逆性没有零乘子，设，和分别是的位于单位圆内、上、外的乘子个数。

定义2.1不动点称为双曲的，若，也就是说，没有乘子在单位圆上若，则称双曲线不动点为双曲鞍点。

有时这个系统写为，，，这里表示在这个映射作用下的象。设是这个系统在时的双曲不动点。当参数变化时监控这个不动点以及它的乘子。显然，在一般情况下，只有三种方法才能破坏双曲性条件：对某个参数值，要么单个正乘子趋于单位圆，有，要么单个负乘子趋于单位圆，这时有，还有就是一对单复乘子到达单位圆，这时有，。显然，需要更多参数才能分配额外的乘子在单位圆上。

定义 2.2 对应于的分支称为折(或切)分支。

这个分支除了别的名字以外，也称为极限点分支、鞍-结点分支，以及转向点分支。

定义 2.3 对应于的分支称为翻转(或倍周期)分支。

定义 2.4 对应于，的分支称为Nwimark-Sacker(或环面)分支。

注意，折分支和翻转分支只当时才有可能，而对Nwimark-Sacker分支，则需要。

3 分析方法

考虑在开集上的隐式向量函数定义的n维离散动力系统，其中为向量函数，为离散状态变量。对一切，存在一个叠代关系

（3.1）

其中为参数。为了研究系统（3.1）的周期和混沌行为，引入如下两个点集

(3.2)

并定义正映射如下

（3.3）

类似的定义负映射如下

（3.4）

于是有

（3.5）

正、负映射和均由离散系统（3.1）所决定。易知

（3.6）

若，，则（3.1）存在周期1解，设其周期1解为，并代入（3.6）得

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