交错级数敛散性的判别法

论文总字数：5577字

摘 要

交错级数敛散性的判别是大学数学中的一个比较重要的内容，一般主要用莱布尼兹判别法进行判别。本文给出了几个有用的结论来判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。文中归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性，并在莱布尼茨判别法失效时，给出了判定交错级数敛散性的方法。

关键词：交错级数，敛散性，判别法，证明，应用

Abstract：The criterion of convergence of the alternate series,which is normally judged by Lebiniz’s alternating theorem,is an important topic in mathematical analysis. In this paper,some useful methods regarding criterion on convergence and diverge of a kind of alternative series are given.Meanwhile,it has some conclusions about it.In is paper we summarize how to use this Lebniz theorem to verify the convergence of the alternate series,and how to testify it without the Lebniz theorem.

Keywords: alternate series,convergence or divergence,criterion,prove,application

目录

1 引言 4

2 判断交错级数敛散性的常规方法 4

2.1 能直接使用定义判断的情形 4

2.2 能直接使用莱布尼兹判别法的情形 5

2.3 能转化成正项级数的情形 5

2.3.1 拉贝判别法的推广 5

2.3.2比式判别法和根式判别法的推广 7

3 判断交错级数敛散性的非常规方法 9

3.1 适当进行级数重排 9

3.2 适当添加括号 10

3.3 对通项变形 10

3.4 级数收敛的必要条件 10

3.5 莱布尼兹判别法条件的特殊情形 11

3.6 其他方法 13

结论 16

参考文献 17

致谢 18

1 引言

级数敛散性的判别是大学数学级数论中的一个比较重要的问题，我们所学的教材中有关级数敛散性判别方法很多，其中级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，虽然从逻辑上讲，它适用于一切级数敛散性的判断，但是用它去判断具体级数的敛散性时是相当困难的，甚至是无法进行的，特别地当使用柯西准则去判别一个交错级数是否收敛时,往往是无法办到的.

在数学分析中，关于交错级数的敛散性的判别方法讨论的很少，只给出了莱布尼兹判别法，在用莱布尼兹判别法判断交错级数敛散性时只需证得对应数列单调递减，并且数列极限为零,就能判断交错级数是收敛的,仅仅这样看，用莱布尼兹判别法判断交错级数的敛散性是非常实用且简便的，但是，在实际的求解过程中，判断一个数列是否单调递减和求该数列的极限,常常不是那么容易的，并且不是那么容易就能得出结果的,所以莱布尼兹判别法在使用的时候有很多局限性,这就使得莱布尼兹判断法的使用范围很小，并且不能判断出交错级数是条件收敛还是绝对收敛,所以在我们判别交错级数敛散性的时候使用莱布尼兹判别法是非常不便的.

文献虽然把莱布尼兹判别法进行了推广并得到了一些判别交错级数敛散性的新方法及应用实例，但他们都是独立的个体，所以并不够系统完善。本文依旧从莱布尼兹判别法入手,将结合文献和正项级数的判别方法归纳总结出判别交错级数敛散性的几个常规判别方法,并且通过对莱布尼兹判别法的条件改写以及对其他方法的继续探究给出一些判断交错级数敛散性的非常规方法,同时给出一些判断交错级数是绝对收敛还是条件收敛的方法.

2 判断交错级数敛散性的常规方法

2.1 能直接使用定义判断的情形

定义 若数项级数

（1）

的部分和数列收敛于(即),则称数项级数（1）收敛，称为数项级数（1）的和，记作

，

若是发散数列，则称数项级数（1）发散.

2.2 能直接使用莱布尼兹判别法的情形

命题1 （莱布尼兹判别法）对于交错级数若满足下列条件：

；

，

则交错级数收敛.

例1 判断级数

，

的敛散性.

解 设，由于

,

所以数列单调递增，又因为

,

故级数收敛.

2.3 能转化成正项级数的情形

2.3.1 拉贝判别法的推广

命题2 （拉贝判别法）设为正项级数，且存在某正整数及常数，

若对一切,成立不等式

，

则级数收敛；

若对一切，成立不等式

，

则级数发散.

下面将该方法推广到交错级数的情形.

命题3 若交错级数满足，则该级数收敛，特别地：

若，则交错级数收敛，其中具有

①当时，级数条件收敛；

②当时，级数绝对收敛.

若，则交错级数发散；

若，则交错级数可能发散可能收敛.

例2 判断级数的敛散性.

解 因为，所以有：

所以级数收敛，且绝对收敛.

2.3.2比式判别法和根式判别法的推广

比式判别法和根式判别法在正项级数敛散性的判别中起着非常重要的作用，这两种方法能判定大部分正项级数的敛散性，且使用简单方便，下面将这两种方法进行推广，应用于交错级数敛散性的判定.

命题4 设为正项级数，且存在某正数及常数，

若对一切，成立不等式

，

则级数收敛.

若对一切,成立不等式

，

则级数发散.

下面将该方法推广到交错级数的情形.

命题5 若交错级数的后项绝对值与前项绝对值之比的极限等于，即，则

当时，交错级数绝对收敛；

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