介质缺陷对螺旋波的影响

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摘 要

螺旋波的研究具有重要的实际应用价值。本文是利用元胞自动机模拟激发介质中的螺旋波来分析异质缺陷对螺旋波的影响，发现缺陷的形状对螺旋波的影响很大。对于圆形缺陷，当缺陷足够大时，螺旋波空间结构被破坏，螺旋波破碎，形成空间无序时间有序结构；对于线状缺陷，螺旋波不易破碎，即使破碎也不会形成时空混沌，而是产生新的时空有序；对于分形结构，螺旋波发生形变，并不会引起螺旋波的破碎。分形的影响主要体现在螺旋尖端的轨迹的变化是非常复杂的。

关键字：螺旋波，介质缺陷，圆形缺陷，线状缺陷，分形结构缺陷

Abstract：The study of the spiral wave has important practical value.In this paper, cellular automata is used to simulate the heterogeneous defect effects on spiral wave in excitation medium. We find that the shape of defects has great effect on the spiral waves. For the circular defects, when the defect is large enough, the spatial structure of the spiral wave is destroyed. And the spiral wave is broken. the disorder space and time is formed. For the linear defect, spiral wave is not easy broken. Even if broken, the spiral wave will not form spatiotemporal chaos. But new order in time and space will be formed; For the fractal structure, the deformation of the spiral wave will be found. But it does not cause the breaking of spiral wave.The influence of fractal is mainly reflected in the trajectory of the spiral tip and it is very complex.

Keywords：spiral wave，medium defect，circular defect，linear defect，fractal structure defect

目 录

1 引言 4

2 可激发系统中的螺旋波模型 4

2.1 反应扩散模型 4

2.2 FHN模型 4

2.3 心肌组织模型 5

3 介质缺陷对螺旋波的影响 6

3.1 模型 6

3.2 结果与讨论 7

结 论 13

参考文献 14

致 谢 15

1 引言

螺旋波广泛存在于自然界中，是一种非平衡斑图形式。在许多实际的可激系统、振荡系统和双稳系统中都能观测到，例如心脏、大脑皮层、肠模型、螺旋星系、液晶、BZ反应、粘质菌、卵细胞以及金属催化剂表面的一氧化碳氧化等。螺旋波的研究涉及物理、生物、天文、医学、数学和化学等各学科领域，是非线性交叉科学中的研究热点。特别是在医学领域，螺旋波的研究被人们极大关注。心脏病是人类生命的一大杀手，心肌中螺旋波的出现会导致心率过速，当心脏组织的螺旋波失稳至湍流态，螺旋波的这种自发破碎就会引起心脏的纤维颤动^[1]，此称之为心颤，心颤被认为是心脏猝死的一个主要原因后。因此了解螺旋波的产生、破碎的机理以及对其进行控制是极为重要的。近年来，人们对螺旋波的动力学性质已有初步了解。螺旋波的形成是局部动力学与扩散输运相互作用的结果，它要求系统是非线性、远离平衡态的，而且系统中存在着缺陷点。

2 可激发系统中螺旋波模型

大多数产生螺旋波的系统都是可激发系统。可激发系统表示一个定态，当外界刺激未超过某一阈值时该定态保持稳定，当外界刺激超过这一阈值时该定态远离原稳定态后又再次回到定态，我们称这类系统为可激发系统。可激性最早是指活的器官在相对较弱的外刺激响应表现出的一种性质，一个典型的例子是对一个心肌细胞静息态施加短时超阈值的去极电扰动能引起跨膜电位(动作电位)的一次发放(形成一个峰)，产生的动作电位的形状不依赖于微扰的强度，此强反应过后系统又返回到静息态。且在这个反应中存在着一段时间(从被激发时开始)，在这个时间段内新的扰动不会引起新激发，这段时间我们称为不应期。可激媒质能支持信号传播且信号不衰减，是螺旋波产生与传播的主要媒质。在可激发系统中研究螺旋波的形成，失稳和动态平衡主要有下面几种模型。

2.1 反应扩散模型

最初苏联化学家Belousov和生物学家Zhabotinsky^[2]在化学反应中发现了螺旋波。系统处于一定条件下，会出现美丽的螺旋花纹，有些花纹以螺旋状向外旋转，有些会以同心圆形式向外扩散。所以对于螺旋波的研究最初建立反应扩散模型。反应扩散模型是用偏微分方程的形式描述

其中，x,y表示反应物的浓度；f(x,y),g(x,y)表示体系的非线性动力学函数；Dx，Dy是扩散系数；是拉普拉斯算符；为一小量，使x,y方向具有不同的时间尺度，是体现系统的可激发性的一个重要量度。求解偏微分方程，当f(x,y)=0,g(x,y)=0时有唯一稳定均匀解。

数值求解偏微分方程，计算的结果成功的给出化学反应系统中的螺旋波。反应扩散模型可以描绘化学反应中螺旋波的动力学特征，可以研究螺旋波波长、周期、波速，以及螺旋波尖端轨迹和波的稳定性等一些波的特征。

2.2 FHN模型

1952年，Hodgkin和Huxley提出了关于波在乌贼神经中传播的数学模型离子模型^[3]。在此基础上1962年Noble提出应用于心脏组织的模型，即Noble模型^[4]。采用离子模型研究心脏组织，可以给出心脏组织的一些基本性质，如心脏组织细胞的离子密度的动力学变化，回归性质等等。但离子模型存在很大缺陷，它只适合模拟单一的心肌组织，而真实的心肌组织是复杂多样的，由成千上万的心脏细胞组成。另外，离子模型在很多重要问题上的模拟结果不尽如人意，如心脏中的再入性心动过速问题。

在激发介质中研究螺旋波更有效的是采用FitzHugh-Nagumo模型^[5]，与简单二变量模型相比多了扩散项。

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