论文总字数：22319字

目 录

一.绪论 1

1.1研究背景 1

1.2国内外发展现状 1

1.2.1国外发展现状 1

1.2.2国内发展现状 2

1.3研究的目的和意义 3

1.4本文的主要工作 3

二.稀疏表示 3

2.1稀疏表示的定义 3

2.2稀疏表示模型 4

2.3稀疏矩阵 4

2.4稀疏性的度量 4

2.5稀疏表示方法 4

2.5.1离散余弦变换DCT 4

2.5.2快速傅里叶变换FFT和广义快速傅里叶变换FGFT 5

三.压缩感知 6

3.1概述 6

3.2主要流程 6

3.3基本原理 7

3.4测量矩阵 8

3.4.1稀疏随机矩阵 8

3.4.2高斯矩阵 9

四.信号重构 9

4.1理论基础 9

4.2稀疏信号重建算法设计 9

4.3正交匹配追踪OMP算法 10

4.3.1求解方法 10

4.3.2OMP算法伪代码 11

五.压缩感知方法的实现与验证 11

5.1方法与实现 11

5.2信号的稀疏变换与重构 12

5.2.1DCT变换 12

5.2.2FFT变换 13

5.2.3FGFT变换 14

5.2.4DCT变换 16

5.2.5FFT变换 17

5.2.6FGFT变换 19

5.3三种稀疏变换的重构误差 20

六.总结 20

参考文献 21

致谢 23

超声波阵列传感信号的稀疏表示优化方法研究

韩娇

, China

Abstract: In recent years, due to the rapid development of science and technology, people will inevitably use more data, so the corresponding signal processing standards will also become higher. This requires a more optimized and practical method for signal processing. A sparse representation method is used to describe a signal, that is, a large number of original signals can be represented by a small number of basic signals. Sparse representation of signal processing and analysis is very important in practical application. Sparse representation can make the signal more efficient, improve the efficiency of signal compression, and reduce the cost of signal acquisition and processing. Sparse signal processing has become a hot issue that scholars have been studying in recent years. In this paper, the sparse representation of real ultrasonic array sensing signals is analyzed. The sparse representation of several signals is discussed and analyzed. On the basis of the existing sparse representation algorithm, based on the sparse representation theory of signals and based on the theory of compressed sensing, the proposed method is based on the theory of compressed sensing. Several sparse decomposition representation methods and corresponding transformations for ultrasonic array sensing signals are used to reconstruct the sparse signal, and the implementation of the whole process is accomplished by using MATLAB.

Key words: array signal; sparse representation; signal processing; compressed sensing.

一．绪论

1.1研究背景

由于信息科技的快速进步，人们对于数据的需求也在迅速增长。根据采样定理，为了准确地重构出原始的信号，采样率必须大于信号的两倍带宽，这种方法必然会造成资源浪费。由于采样速率需要大于信号带宽的两倍，一方面，随着信号带宽的不断增加，伴随着的更大的采样速率必定会给传感系统造成更大的压力。另一方面，信号普遍要求拥有稀疏性这个特点，所以要对采集得到的信号做稀疏处理来丢掉小数据从而降低信号在存储和运输方面的成本，这不可避免地会导致CPU和内存资源的浪费，很多学者为了解决这一问题一直在做相关的研究。但是如果要想重建原始信号而不失真，Qwest采样定理并不是必要条件，研究结果表明信号的精确重建和带宽之间没有必要的联系。稀疏表示并不是新出来的东西，研究人员长期以来一直在使用此方式并已经把它运用于许多生产实践活动中了^[1]。信号必须要有稀疏性，这个特点是压缩感知的先决因素。通过使用某种算法能对具有稀疏特性的信号几乎实现完全重构，由此一来如何用更加少的稀疏信号完全重构出原始信号便成为了近年来专家学者们研究的方向。稀疏特性是天然信号的一个普遍特点，信号具有稀疏性意味着信号所拥有的不为零的变换系数远小于其本身长度。对于我们正在处理的信号，时域中稀疏信号并不多。能够完成稀疏功能的变换不少，例如离散余弦变换DCT变换，小波变换还有加博尔Gabor变换等都是传统的用于处理采样信号的正交变换^[2]。目前信号处理的实用方法大部分都是基于样本采样的方法，样本采样是通过大量数据获知的。压缩感知的前提要素中，首先信号要具有稀疏性，然后才是有关键作用的观测矩阵。信号稀疏表示的本质可以理解为是对信号的拟合运算，即将输入信号近似地表达出来。压缩传感是一种创新模式，是运用信号的稀疏性对信号进行采样操作的新颖模式，重构是其中的枢纽部分。

1.2国内外发展现状

1.2.1国外发展现状

Mallat于1993年以小波分析为基础，创造性地提出能够用超完备字典来表示数据，可以说他是信号稀疏表示的第一人^[3]，Mallat首先提出了信号稀疏表示过程中可能会用到的对应分解算法，即众所周知的MP算法，MP算法属于一种广范运用的迭代算法。Pati等人提出正交MP算法，比MP算法要快，但是这种方法仍然存在很多缺点，不能满足研究与应用的需要，因此学者们陆续又提出CoSaMP算法与分段StOMP法等再次改进过的方法^[4]。Micheal Elad在2006年提出K-SVD算法^[5]，和最佳方向法相比，该种方法以过完备字典稀疏分解为基础所以K-SVD的收敛速度有了很大的提高，但在使用 K-SVD来对图像做去噪处理的过程中，图像会随着噪声的逐渐增强而丢失纹理细节，这会使处理过的图像变得更加不清晰。虽然压缩感知理论较晚才被正式提出，但是理论被提出之前就已经有人使用这种思想将稀疏信号列进压缩采样框架，其中就包括一些用于对噪声进行采样的参数估计处理思想。19世纪初，Caratheodory证明了任意K个正弦曲线的线性组合可以从其初始值和任何其他2K时刻唯一确定，当K值很小且信号的频率范围非常大时，信号可以远远小于Shannon-Nyquist采样定理所要求的采样值^[6]；在20世纪初，Vetterli等人提出非带限信号采样框架，证明数据能够用2K个样本进行重构。截止到现在已经发现的重建算法可分为下面三大类:第一类，贪婪追踪算法^[7]。这种方法在每一次迭代运算时使用局部最优解去一步一步地接近原信号。属于贪婪法的有MP算法、正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)、分段正交匹配追踪算法(Stagewise OMP,StOMP)还有正则化正交匹配追踪算法(Regularized OMP,ROMP)等等。与凸松弛算法不同，此种方法实现难度相对较低，运算时间短，能够普遍运用在各种项目工程里。第二类，凸松弛法。这种类型的方法是把非凸问题转换成凸问题，然后对后者进行求解以寻求信号的无限接近。凸松弛法包括基追踪算法即BP算法，还包括内点法与迭代阈值法等。凸松弛方法将最小改进转化成最小改进问题，同时搜索具有最小的矢量幅度。凸松弛法在进行重构时具有运算精度高的特点，与此同时计算变得更复杂。第三类，组合算法。这种算法要求能够经过群分组测试迅速重建出原信号。例如傅里叶采样方法,链式追踪与HHS追踪。

压缩感知是一种新颖的信号思想，可以大大降低稀疏信号采集成本，对信号进行采样的过程中这种原理可以明显减少采样频率，并且可以精准完整地重构数据。正是因为压缩理论的突破性变革才使其在信号处理分析方面被高度重视并被大范围地运用，成为数学和工程应用领域的重要部分。在压缩感知理论框架下，被稀疏表示的信号可以通过少量的线性非自适应压缩测量来准确重建^[8]。目前，压缩感知理论在互联网领域，信息领域，医学图像领域和通信领域得到了广泛的关注和运用，并且在2007年被列入美国科技进步前十名，虽然该理论出现较晚，但已经形成了包括模拟信息和贝叶斯在内的许多种理论。

1.2.2国内发展现状

国内现在主要研究如何简化稀疏算法还有进行很多应用方面的探索，孙玉宝等人使用这种方法进行图像处理，李恒建等人于图像去噪方面取得了不错的成果，邓成志等人创造性地提出快速MP算法，很多研究者将它用在Multi-lable分类里面并获得了不错的成果^[9]。国内有关稀疏表示的探索很迟，获得的成就不多，和国外研究成果相比，国内已经发表的有关稀疏表示的论文和著作并不算多。国家自然科学基金于2005年对信号的稀疏表示项目方面作出两项支援，在此之后这方面的科研强度才渐次加大^[10]。国内当时针对探索过完备原子库与对图片进行稀疏处理这两方面的相关研究总的来说并不多，如今我国国内的许多高等学校和研究所都对信号的稀疏表示开展了研究并取得了相当可观的成果，稀疏理论和压缩感知理论对雷达成像和压缩去噪方面产生了重大影响并取得了不错的进展。我国国内专家们关于压缩感知理论的探索聚集于对已经被压缩过的数据的重构方法上还有关于现存这种模型的运用方面上，关于模拟信息转换的研究并不多，尤其在关于压缩采样详细的实现方面的探索分析更少。尽管国内已经参与进压缩感知队伍里来的专家们逐渐增多，但无论是对于此理论的了解还是应用上，国内仍然都和国外存有着不小差距。值得称赞的是国内学者也取得了不错的进展，成功地发现了以稀疏表示方法为基础的学习超分辨率重构方法，这种方法学习并借鉴压缩感知理论实现超分辨在整个学习样本空间的改进求解，使用字典对将字典学习分成了一种关于双层优化的问题，在图像重构领域也获得了创新成果。

1.3研究的目的和意义

信号处理在许多领域的应用中一直都具有很重要的作用，信号的稀疏表示被认为是信号的基础研究，它在人脸识别，图像去噪和盲源分离等各个领域都具有重要的意义。稀疏表示在很多方面都有应用，比如在编码，数据理论，地理与航空信息处理等方面就有广泛的应用，一种基于小波分析的新的信号分解方法开创了信号处理和分析的新方向，到目前为止，信号的稀疏分解已经形成了多种算法，他们分别在光谱，到达方向估计，音频信号，弹道数据处理，生物医学成像，盲源分离与系统控制等方面得到了广泛的应用。信号重构技术作为成长非常迅猛的一种信号处理技术，它主要研究从部分稀疏信号中完全重构恢复出原始信号的方法，信号重建技术已被广泛地应用于光通信，图像处理，语音处理与物理信号处理中，在诸如电子显微镜，天文学，古地磁学和X射线晶体学等领域也逐渐受到人们的重视。当信号包含的信息量很大时，能否快速有效地展现视频信息是电子计算机处理多种信息载体的关键，因此稀疏表示的影响巨大并且在很多方面都是不可或缺的。伴随着当代传感器技术的高速发展，包括工业控制数据、基因数据等在内的信息日益增长，如何将这些数据更灵活，简洁和适应性地表达出来已经越来越值得关注。通常来说，信号分解方法是将信号分解为一组完整正交基，傅利叶变换就是如此，他们的共同之处在于给定信号的表示非常简单，一旦信号本身特征和其使用的基础函数无法全部相匹配，那么转换后得到的结果就可能并不具有稀疏性，所以寻找出一种能够自适应的稀疏方法定会引起信号处理领域的巨大反响。

1.4本文的主要工作

对稀疏信号进行检验以表示相关数据，了解并学习信号稀疏表示的概念和基本原理，研究信号稀疏表示理论，算法和一些公式，深入学习并研究稀疏表示的多种方法，细致钻研一些算法的核心代码，在现有的稀疏表示方法和算法的基础上，根据超声波阵列传感信号的特点，依据信号处理的基本原理，选择并成功实现超声阵列感测信号的几种稀疏表示方法。

进行实验，用实验验证本文所选用的稀疏表示方法能够实现。使用MATLAB实验成功完成分别基于DCT，FFT，FGFT三种变换方法的实现，用实验结果和误差分析共同说明本文所用的稀疏表示方法的好处与特点。

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