奇异积分方程数值方法研究-毕业论文网

论文总字数：17193字

摘要

介绍积分方程的发展历史和运用领域，广义的研究了各类奇异积分方程的基本形式。重点研究第一类和第二类Fredholm型积分方程和Volterra型积分方程，引入Galerkin方法，对这类奇异积分方程进行数值求解求出近似值，并结合数学物理当中水波散射问题，运用单项Galerkin法进行具体求解。最后重点研究如何利用伯恩斯坦多项式求解弱奇异积分方程，针对对数核奇异积分方程给出三个具体算例。运用Galerkin法和伯恩斯坦多项式求出近似解，并使用matlab运行矩阵求解，将运行结果与数值结果进行比对，分析误差是否在合理范围，并分析其收敛性。

关键词：奇异积分方程；Galerkin法；伯恩斯坦多项式

Applied Singular Integral Equations

Southeast University ZhaoYiyun

Instructor LiYuanqing

Abstract: First the dissertation introduces the history and use of the field of integral equation, then we study the basic form of various types of singular integral equations, focus on Fredholm integral equation of first (second) kind as well as Volterra integral equation of first (second) kind. Then we introduce the Galerkin method in order to numerically solve this kind of singular integral equation approximately. Furthermore, we describe a water wave scattering problem using single-term Galerkin approximations to calculate accurate numerical solutions. Finally we focus on how to use the Bernstein polynomials for solving weakly singular integral equations of logarithmic kernel in three specific examples. Using Galerkin method and Bernstein polynomial to obtain the approximation solution, then we use matlab to solve the matrix and run the results which will be compared with the numerical results in the dissertation. Then we evaluate the error and analyze their convergence.

Key words: singular integral equations; Galerkin method; Bernstein polynomial

奇异积分方程的数值方法研究 2

摘要 2

第一章引言 5

第二章积分方程的定义和介绍 6

2.1 积分方程的定义 6

2.2 一般的积分方程 6

2.3 多元积分方程与方程组 7

2.4 奇异积分方程 7

第三章积分方程的Galerkin方法 12

3.1.Galerkin法的定义 12

3.2 Galerkin法的一般运用 13

3.3 单项近似Galerkin方法 14

3.4单项Galerkin近似法的水波散射问题的运用 16

3.5柯西奇异积分方程的Galerkin法 19

第四章 Bernstein多项式法求解对数的奇异积分方程 22

4.1 第二类Fredholm型积分方程 22

4.3 奇异积分方程的具体算例 24

3.4 收敛性分析 27

致谢 28

参考文献 29

第一章引言

积分方程的发展历史与微分方程是密不可分的，然而两者并不能混为一谈。积分方程所运用的领域非常广，尤其是在数学和数学物理学的范畴之内。在电动力学、流体力学、弹性力学、断裂力学、、振动理论、生物力学、地球物理勘测、中子迁移理论、色散理论、自动控制理论、经济学、博弈论等学科中，诸多问题都会运用到积分方程。许多与线性常微分方程和偏微分方程相关的初值问题以及边值问题都可用来解决积分方程。

微分方程发展的历史要远远早于积分方程。早在17世纪就由微积分的创始者Newton拉开了微分方程研究的帷幕。经过一系列的数学家例如Euler，Lagrange，Gauss以及Cauchy的发扬和壮大，微分方程已经取得了许多惊人成果。然而积分方程的起源要从1823年挪威数学家Abel从力学问题导出积分方程说起。他考虑Hugens摆线弧问题，求质点在垂直平面上落下的路径，是的下落时间是下落高度的预定函数，利用能量守恒原理，导出了著名的Abel积分方程。这也可谓是积分方程起步的一大重要开端。

然而，Abel当时的研究并没有在学术界引起非常大的轰动，真正引领世界走进积分方程研究主流的里程碑人物是意大利数学家Volterra和瑞典数学家Fredholm,。1896年Volterra研究出了现在称为是第二类Volterra型积分方程，并使用迭代法提供出方程解的表达式。4年后，Fredholm讨论了现如今称为第二类Fredholm型积分方程，并发现Fredholm择一定理。而在积分方程发展的后期，Hilbert受到Fredholm研究的启发，发现了第二类Fredholm型积分方程和矩阵特征值之间的联系：将积分视为求和，将函数视为无穷向量，则这个方程可以视为无限维向量空间（又叫Hilbert空间）中的算子方程。他的研究也为20世纪分析学的发展领导了一个新的方向——泛函分析，集分析、代数、拓扑于一体的新学科。泛函分析在20世纪的数学领域当中发挥着重要的作用，也为其后量子力学和统计力学的研究发展提供了理论基础。

积分方程和微分方程有着可以互相转化的关系，我们知道，微分方程的定解问题可以转化为积分方程。积分方程相比之微分方程的优点在于：（1）化为积分方程可以降低方程的维数，运用到更少的节点，大幅度的缩短了计算的时间，在解决一些比较复杂或者是重复度高的运算时可以在一定程度上处理起来更加方便，并节省费用。（2）只需要满足积分方程的要求，可以减弱对未知函数积分方程的限制，不需要找出微分方程所有可能的解，再利用定解条件来确定最后的解，而是将所有定解条件同时体现在积分方程当中。（3）积分方程解的性质非常清楚，积分形式下的数学问题处理起来更加容易，并且更容易得到比较好的结果。举一个典型的例子，将常微分方程定解问题转化为积分方程，很容易得到解的存在性以及唯一性定理。

积分方程在20世纪的研究和发展历程之下，已经越来越多的运用在数学和数学物理范畴下的科学和工程技术的问题。

第二章积分方程的定义和介绍

在第一部分我们将简单介绍一般情况下积分方程的相关定义，并且通过一些例子重点了解奇异积分方程。积分方程经常出现在数学和数学物理学的各个分支中。许多与线性常微分方程和偏微分方程相关的初值问题以及边值问题都可用来解决积分方程。论文中我们将列举一些奇异积分方程及其在数学物理问题上的基本定义和性质，并涉及到力学，弹性力学以及水波线性化理论等方面。

2.1 积分方程的定义

任意含有一个未知量x 的， , (a, b都是实常数)，若其出现在积分符号后面，那么这个式子就是一个关于的积分方程。下面给出一些积分方程的例子：