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目 录

0 引 言 5

1 传统灰色GM(1,N)预测模型 6

2 基于时变参数的多变量GM(1,N)模型及其求解 8

3.实例分析 11

4 结论 15

参考文献 15

致谢 16

0 引 言

20世纪80年代，我国著名学者——华中科技大学邓聚龙教授最早提出并创立了灰色系统理论这门学科，现在已经广泛应用于社会、金融、农业、工业、科技、生物等领域^[1-4]。该理论重点研究方向为“小样本”、“贫信息”的不确定性问题，而“最少信息”则是灰色系统理论的基本准则。

在关于灰色预测中，GM(1,1)模型是灰色预测当中的核心模型也是基础，邓聚龙教授首先给出了模型所需的条件，自此以后，后来的学者对此模型进行了更多的优化和改进，然而，当有需要对多因子的系统进行研究时，就需要应用GM(1,N)模型，尽管GM(1,N)模型在很多领域得到应用，但GM(1,N)模型仍有其自身的缺陷，在文献[4]中，邓聚龙教授也已指出GM(1,N)模型虽然自身具有部分动态特性，但因为其不具备全信息状态，预测误差相对较大。而Tien^[5]等则在文中通过实例分析证明了邓聚龙教授的观点，所以在静态分析上常常用到GM(1,N)模型。在之后针对GM(1,N)模型，很多学者在这方面进行了很多改进和优化，也使得GM(1,N)模型延伸出适合于某种特殊数据下的、更具有针对性的新型GM(1,N)模型，如王正新^[6]认为变量间存在滞后作用而提出的多变量时滞GM(1,N)模型，彭琨琨、肖新平^[7]等学者从广义累加出发给出了广义灰色多变量模型，文献[8]和[9]则分别利用了数值积分的复合梯形公式和Simpson公式来优化并建相关的新模型等等。

在灰色多变量预测中，常用的为灰色GM(1,N)预测模型，其公式里的两个参数和，对模型精度的影响起着至关重要的作用。参数被称为系统发展系数，反映了系统预测量的发展趋势，参数被称为驱动系数,可以说它代表了因变量序列的行为模式的变化，而假设两个系数是恒定不变的条件与客观实际有一定的差距，因为在系统的不同的时间阶段，都存在这不同而发展机理和不同的外部环境，所以，其发展趋势、发展速度、各因素之间的发展联系都是不相同的,参数也是依据系统在时间上的变化而变化的，因此，本文在GM(1,N)模型的基础上引入了线性时变参数，加强了模型整体间的联系，更强调了与时间相关联的动态特点^[10]。

基于线性时变参数的多变量GM(1,N)模型，是在传统的灰色GM(1,N)预测模型基础上，对两个固定不变的参数和进行优化，将其变为具有线性时变特点的动态参数，弥补了传统灰色GM(1,N)预测模型大部分只能用于静态分析的不足。关于对灰色预测模型引入时变参数的想法，很早便有学者开始研究，文献[11]中，王金柱就提出采用多项式逼近的方法，对添加了时变参数的新型灰色GM(1,1)预测模型进行分析，这一方法也为后来的学者在研究引入时变参数的灰色预测模型提供了一条可行且有效的途径。

本文主要是以引入线性时间变量参数的GM(1,N)模型为研究主题，建立线性时变参数的多变量GM(1,N)模型，并对其进行求解和证明，得出时间响应式并推出还原式，最后通过对实例数据的分析和计算，获得研究的新模型的预测值和相对误差，与传统灰色GM(1,N)预测模型预测出的数据相比较，得出结论：基于线性时变参数的多变量GM(1,N)模型的预测结果误差要小于传统灰色GM(1,N)模型。

1 传统灰色GM(1,N)预测模型

GM(1,N)模型是由一个行为变量，和N-1个因子变量组成，其符号内涵为

GM(1,N)

Grey Model 1 Order(1阶) N Variable(N个变量)

GM(1,1)模型具有全信息性，是基本的灰色预测模型，而灰色GM(1,N)模型并不具备全信息性，一般不适用于预测，但是，当需要有多因子因素来对系统特征序列进行系统的、整体的、全局的动态分析时，就需要使用GM(1,N)模型^[4]。

定义 1.^[12] 设为系统特征数据序列（或因变量序列），另设

……

为相关因素序列(或独立变量序列)，为() 的1-AGO序列(累加生成算子)

为的紧邻均值生成序列，则称

为GM(1,N)模型。

其中

定义2^[12] 在GM(1,N)模型中，称为系统发展系数，称为驱动项，称为驱动系数，成为参数列。

定理1^[12] 设为系统特征数据序列，(i=2,3,…,N)为相关因素数据序列，为的紧邻均值生成序列，则参数列的最小二乘估计满足

其中，

定义3.^[12]设，则称

定理2.^[12]设，，和矩阵B,Y,如定义1和定理1中所述，

则

（1）白化方程的解为

（2）当，被看作为一个灰色常数。则GM(1,N)模型的近似时间响应序列为

这里被看作为，这是GM(1,N)的原始值。

（3）GM(1,N)的累减还原式为

（4）GM(1,N)差分模拟式为

2 基于时变参数的多变量GM(1,N)模型及其求解

传统灰色GM(1,N)预测模型的系统发展系数和驱动项都是固定不变的，为了使预测模型更加贴近现实，也使得预测变得更加准确，所以，本文考虑以线性时变参数来代替原模型的固定参数和。即设立的参数表示如下：

定义 4：设为系统特征数据序列(或为因变量序列)，(i=2,3,,N)为相关因素序列(或为独立变量序列)，为的一阶累加生成序列，为的紧邻均值生成序列，则称

为基于线性时变参数的多变量GM(1,N)模型。

定理 3： 设、和 ()如上述定义中所述，并记

因此，基于线性时变参数的多变量GM(1,N)模型的参数列向量

的最小二乘估计满足：

(1)当时，即，且时，则；

(2)当时，即，且时，则；

(3)当时，即，且时，则；

证明：(1)当时，即，矩阵可是作为阶的方阵，原式在的条件下，可得出参数列

证明完毕。

(2) 当时，即，因为该方程组未知数个数要小于方程个位数，所以为了能够求出参数列，我们考虑引入残差平方和和函数S

当时，取得最小值，记作：

通过对进行微分求最值，即可得到：

如果则有唯一解：

证明完毕。

(3)将=2，3，…，代入线性时变参数GM(1,N)模型中，可得到如下方程组：

将上述方程组改写为矩阵形式如下：

当时，且矩阵B为行满秩矩阵时，有B的满秩分解为：

依据广义逆矩阵法可求得矩阵的广义逆矩阵为

令取为单位阵(单位矩阵)，则有

最后得出

定义5： 设线性时变参数的多变量GM(1,N)模型中的参数列如定理3中所述，称

为基于线性时变参数的多变量GM(1,N)模型的白化微分方程。

定理4： 基于线性时变参数的多变量GM(1,N)模型的白化微分方程的时间响应式为

证明：

此时，参照GM(1,N)模型的白化微分方程求解过程，当变化幅度很小时，可视为灰常量，则方程式可简化如下：

所以，由此得出时间响应式如下：

其中为积分常数。

取式(26)(即得出的时间响应式)的初始条件带入式()后可得出积分常数

所以，基于线性时变参数的多变量GM(1,N)

的近似时间响应式为

累减还原式为

差分模拟式为

3.实例分析

粮食是国家的战略物资，也是人民的生活必需品，对于发展中国家来说，是基本的物质基础，没有粮食，一切都是空想，如同空中阁楼，更别说国家稳定，经济增长。

对于我国来说，建国之后，粮食的产量虽然在增加但波动也十分明显，这对于我们国家的发展也有制约，对生产者和消费者也都造成了不小的困扰。而且我国耕地面积也在减少，这对于粮食产量的增加也是个严峻的考验。

虽然国家对于粮食的问题非常关注，例如提高粮食最低收购价格，取消农业税，不强行占领一些农业生产土地等等，一切的措施都是为了增加粮食产量，但我国同样是一个人口大国，人口基数大，粮食产量虽多，消耗也大，粮食进口只是一方面，因为它的不确定性以及随时可变的情况，我们都不能太依赖这项措施来保证供给。

所以，粮食产量至关重要，建国至今，粮食的总趋势是增长的但却不是年年增长，是有波动的，本文寻找了几个可能与之有关的因素进行分析，利用本文模型对粮食产量进行分析，以期对粮食产量做到更好的预测。

表1 2003-2014年中国粮食产量及其相关因素数量

注：利用第一产业劳动力代替农业劳动力。

因为数据变量较多，不便于实例分析，考虑先利用灰色关联模型求取各个因素与因变量PM2.5之间的综合关联度，取关联度最高的两个相关因素做最后的模型预测。

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