论文总字数：7161字

目 录

0引言 3

1.预备知识与基本概念 3

1．1 迹的基本性质 3

1．2 Hermite矩阵基本概念 4

2.Von Neumann迹不等式 4

2．1 Von Neumann迹不等式基本概念 4

2．2 Von Neumann迹不等式等号成立的充要条件讨论 7

3.Von Neumann迹不等式的推广 8

3．1 Von Neumann迹不等式的发展 8

3．2 Bushell-Trustrum不等式 9

3．3 矩阵逼近 9

4．结束语 12

参考文献 12

致 谢 13

Von Neumann迹不等式及其推广

蔡煜

，China

Abstract: Von Neumann inequality plays an important role in matrix theory research. It also has

a very important significance to modern mathematics. In practical problems, it has extensive application in many fields, such as signal processing, filtering, quantum and economics, etc. This paper introduces the fundamental theorem of Von Neumann inequality, then the sufficient and necessary condition of the equal sign are discussed. After that, the inequality is generalized to general form ,we further get Bushell - Trustrum inequality. At last we analyze the application of Von Neumann inequality in the matrix approximation problems, discuss the problems of solid matrix approximation , which provide theoretical basis for statistical analysis.

Key words：Unitary matrix;Hermite matrix; Von Neumann inequality; Bushell - Trustrum inequality; Matrix approximation

O引言

冯．诺伊曼（John Von Neumann，公元1903年─公元1957年）是20世纪最杰出的数学家之一，他在理论和应用数学方面都有杰出的成果，他建立的算子环理论奠定了量子力学的数学基础．1940年以后他转向研究应用数学，在数值计算、力学、经济学、统计学和电子计算机方面都有重要贡献．1944年他参与了世界上第一台电子计算机的设计，对于现代计算机有深刻的意义，被后人称作“计算机之父”和“博弈论之父”．

1937年J.Von Neumann提出关于矩阵奇异值的迹不等式：

其中，是两个阶酉矩阵，，是两个阶复矩阵，表示实部，表示迹．

该矩阵迹不等式在矩阵论的研究中发挥着重要的作用，对现代数学也极有意义．矩阵的迹是矩阵重要的数字特征，在实际问题中，如量子学、滤波、信号处理和经济学等中均有广泛的应用．多年来，关于矩阵迹的不等式的研究不断地有新的成果出现，得到广泛的推广．

本文基于前人理论基础，总结了Von Neumann迹不等式的基本定理并进行推广，给出Von Neumann迹不等式在矩阵逼近问题中的应用，讨论实矩阵的逼近问题.

预备知识与基本概念

为了介绍 Von Neumann迹不等式，下面先介绍一些预备知识和Hermite矩阵基本概念.

1.1 迹的基本性质

在许多领域，如数值计算、逼近论及统计学中，迹都有许多应用，许多量的计算都会归结到矩阵的迹的计算．

定义1.1.1 设为方阵，称它的对角线元素之和为的迹，记为.即

性质1.1.1 设和分别为和矩阵，则．

性质1.1.2 设为方阵，为向量，则，其中，即为的共轭转置．

性质1.1.3 设为的特征值，则.

1.2 Hermite矩阵基本概念

定义1.2.1 设为阶方阵,记,即取共轭的同时又转置，则为的共轭转置，记作

定义1.2.2 若,则将称为Hermite矩阵．

定理1.2.1 设为阶Hermite阵，则

1. 的所有特征值都是实数；
2. ；
3. 存在一个酉矩阵，即满足，使得

（1.2.1）

即Hermite阵一定酉相似于对角阵．

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：7161字