积分因子法的理论研究及应用

论文总字数：17297字

目 录

一．引言3

二．准备知识3

2.1定义4

2.2积分因子存在的充要条件4

三．积分因子的解法4

3.1 观察法4

3.2公式法 5

3.3凑微分法7

3.4分组法8

3.5 小结9

四．积分因子的应用9

4.1积分因子法在求解Bernoulli方程和Riccati方程中的应用9

4.2积分因子法在求解变量分离方程和齐次方程中的应用11

4.3 积分因子法在其他方面的应用12

五．积分因子在三元函数中的应用14

六．总结16

参考文献17

致谢18

积分因子法的理论研究及应用

汤艺琼

, China

Abstract: As mathematic description of natural law, the importance of differential equations is beyond discussion. We can solve exact equation by integration as a kind of special equations. While some equations are not integrable, it provides the thought to solve ODE---transforming the non-exact equations into exact equations. Integral factor is important during the process. In this article, we give the concept of integral factor and the necessary and sufficient of integral factor^’s existence. As to differential kinds of equations, we obtain the integral factor in different ways. We give examples correspondingly. Besides, we also discuss the situation when it comes to three-dimensional functions.

Keywords: ordinary differential equation; integral factor; exact differential equation; first-order differential equation

1. 引言

常微分方程与很多其他数学学科分支类似，在其发展过程中，表达自然科学规律，造福其他学科。如今，科技发展日新月异，常微分方程与其他学科交叉融合发挥着更大的作用，它不仅与天体力学、弹道学、大气科学等科学技术发展密切相关，还在其他科学技术发展的推动下日益强大。

常微分方程理论经过400多年的发展，已经有了很多解决问题的方法，如分离变量法、常数变易法等。然而事实上，大部分微分方程都找不到其解析解，我们只能借助计算机等手段求得其数值解，可是数值解所反映出的解的性质是不及解析解明晰，故完善常微分方程的理论研究是非常重要的。

在常微分方程理论的形成与完善的过程中，积分因子方法起到了不可或缺的作用。而在积分因子理论的形成过程中，有两位科学家在自己的领域独立发现积分因子法且将之完善理论化。欧拉在18世纪30年代中叶首先发表论文提出“积分因子法”使方程化为恰当方程。1739年，克莱洛约翰在关于地球形状研究的论文中提出积分因子方法。

二．准备知识

2.1定义

定义1 恰当方程（全微分方程）

我们考虑一阶方程

(2.1)

假设是某矩形域内关于连续函数，且有一阶偏导连续。若方程(2.1)的左端恰好是某个二元函数的全微分，即

,

则称方程（2.1）为恰当方程。

由恰当方程的定义可知，可以通过积分求得方程的解，而对于非恰当方程而言，我们有一个很自然的想法——将其化为恰当方程进行求解，而积分因子就是完成这个过程的关键。接下来我们引入积分因子的概念。

定义2 积分因子

对于方程(2.1)，存在一个连续函数使得方程

(2.2)

为一恰当方程，即存在二元函数，使得

则称的积分因子，此时为方程的通解。

由上述两个定义可知，当方程(2.1)为恰当方程时，可直接求得其通解。当方程(2.1)不是恰当方程时，若其存在积分因子，则方程(2.2)的通解就是原方程(2.1)的通解。

2.2积分因子存在的充要条件

定理2.1 由恰当方程的定义可知，方程(2.2)为恰当方程的充要条件是：

.

整理得：

记,,式可整理为

(2.5)

故是方程(2.1)的积分因子的充要条件为是方程(2.5)的解。

三．积分因子的解法

3.1观察法

观察法是最早用来求积分因子的方法之一，我们经常用它来求解一些我们较为熟悉的一些方程的积分因子，如 等是方程

(3.1)

的积分因子。

将式(3.1)左右两侧同时乘以以上积分因子，则原方程化为：

=

掌握并熟悉这些积分因子的形式可以帮助我们快速求解微分方程，如：

例3.1 求微分方程

(3.2)

的积分因子。

解：的一个原函数为，的一个原函数为，

显然，，在方程(3.2)两边同时乘以，原方程转化为

,

此时方程(3.2)已化为恰当方程，故方程(3.2)的积分因子为。

此外，由方程(3.1)的多个积分因子可以看出一个方程的积分因子并不唯一。关于积分因子的不唯一性，给出如下定理。

定理3.1 若是方程(2.1)的积分因子，是方程(2.1)相对应于的恰当函数，即存在使得

那么也是方程(2.1)的积分因子的充要条件为，其中是关于u的可微函数。

证明 充分性

由于

这里是的一个原函数，即

为恰当方程，其通解为（）。

必要性

因为方程（2.1）的积分因子，由定义得，存在可微函数，使得方程,

两侧乘以，得

,

所以，其中是关于u的可微函数。由此可见，方程(2.1)的积分因子不唯一。

3.2公式法

定理3.2

a.方程(2.1)存在形如的积分因子（只与有关）的充要条件为

,

其中是只与x有关的函数，其积分因子.

同样地，方程(2.1)存在形如的积分因子的充要条件为

,

其中是只与y有关的函数，其积分因子.

b.方程(2.1)存在形如的积分因子的充要条件为

,

是仅与有关的函数，m、n为任意常数，其积分因子为

.

注：该定理包含两种特殊情况：

当时，方程(2.1)存在形如的积分因子的充要条件为：

,

为仅与相关的函数；

当时，方程(2.1)存在形如的积分因子的充要条件为：

.

c.方程(2.1)存在形如的积分因子的充要条件为：

,

为仅与相关的函数，均是关于x、y的连续可微函数，、分别是x、y的导数，其积分因子为

.

d.方程(2.1)存在形如（a、b为任意常数）的积分因子的充要条件为：

,

其中是仅与有关的函数，积分因子为

.

注：该定理包含两种特殊情况。

当时，方程(2.1)存在形如的积分因子的充要条件为

,

其中仅与函数，其积分因子为

.

当时，方程(2.1)存在形如的积分因子的充要条件为

,

其中是仅与有关的函数，其积分因子为

.

证：下面我们证明更为一般的定理：方程(2.1)具有形如的积分因子的充要条件为

(3.3)

由定理2.1得：方程（2.1）有积分因子的充要条件为

(3.4)

令, , ,故式(3.4)变为：

.

又因为

,

因此，方程（2.1）具有形如的积分因子的充要条件为

.

并可因此求得积分因子为：

故此定理得证，即定理3.2均得证。

下面的两个例子用到了上述定理中的一些公式。

例3.2：求方程

的积分因子并求其通解。

解：在该方程中，,

则有,,

仅与有关，故积分因子为

(3.5)

在方程左右两侧同乘我们得到

(3.6)

方程(3.6)为恰当方程，通解为，其中为任意常数。

例3.3：求方程

的积分因子和通解。

解：在该方程中，

则有,,

之间满足：

(3.7)

由公式可得积分因子为,

通解为.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：17297字