高次线性方程组解的研究

论文总字数：9572字

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英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2

引言.............................................. 3

1. 一元高次方程解的研究............................ 4

1.1一元二次方程的解及其性质..............................................4

1.2一元高次方程的解的推广 .............................................. 5

2.线性方程组的解法及性质.......................... 8

2.1 n阶行列式有关性质................................................... 8

2.2 解线性方程组的几个常用方法........................................... 9

3. 二元高次方程组的性质及解法............................ 10

3.1 推导二元高次方程组的计算结式........................................ 10

参考文献................................................ 16

致谢.................................................... 17

高次线性方程组解的研究

张海

，ChinaAbstract: In this thesis, we study the solution of higher order linear equations. Mainly focus on the following points:①One-dimensional system of linear equations;②General solution of linear equations;③Analysis of Binary High Order Equations; In this paper, we study the solution of the unitary higher-order system of equations , and then extend the solution to the higher-order linear equations.

Keywords: high order equation; linear equations; algebra; solution

引言

高次方程是代数学中的一部分，在现代科技发展过程中有着很多应用。我国古代南宋杰出的数学家秦九韶很早就提出了解一元三次方程与其他任何高次方程的方法"，这比欧洲的卡尔丹还早了400年。早在十二世纪，中国古代阿拉伯人和欧洲人就或多或少地发现了一元两次方程式的解。但是对于一元三次方程，各地的数学家也只是能解决一些特殊一元三次方程，可是一直都没有普遍试用于解任意一元三次方程的解法。直到后来我们有了解一元三次方程的“卡尔丹公式”和解一元四次方程的“费拉里公式”，现在解一元三次方程普遍运用“盛金公式”。在上个世纪出现了二元高次线性方程组的结式算法，本文研究了高次线性方程组的性质及其解。

张禾瑞、郝鈵新、余长安等学者出版了有关代数学的书籍，给代数学初学者提供了学习数学的大门。文献[6]、文献[7]和文献[8]给出了解二元高次方程组的结式及其相关性质。文献[9]研究了矩阵与解线性方程组之间的关系，为我们研究高次方程奠定基础。本文就线性高次方程组的性质及其求解进行研究。

文献[10]-[16]为行文的写作提供了许多指导。

本文共分为三个部分，第一部分写了一元高次方程的性质和解法，从一元二次方程到三次、四次，并推广到高次的研究，一元三次方程有“盛金公式”，一元四次方程有“费拉里公式”；第二部分，给出了线性方程组的性质和几种常见解法，并比较各个解法的优缺点；

在第三部分中，我们引入了二元高次方程的结式，并证明了其合理性，然后利用所得结式给出了二元高次方程组的通解。

1 一元高次方程解的研究

在本章中，会介绍一元二次方程的解的性质，从而推广到一元高次方程的解。

1.1一元二次方程的性质及解法

为了推导出一元高次方程的解法，我们先从二次三次甚至四次开始推导，慢慢打开思路，接下来我们先来看看一元二次方程的性质及相关解法。

定义1.1.1 一个方程只包含一个未知数，且2次是未知数最高次的整式方程。我们称之为一元二次方程。例如：，其中皆为实数，且。

下面我们来看一元二次方程的一些性质。

一元二次方程主要有4个性质：

1. 在等式中只含有一个未知数；
2. 等式是整式方程。是以要判断一个整式方程是不是一个一元二次方程，就要先看它是不是整式方程，如果是整式方程，我们将其形式整理为，这样更便于我们对方程进行分析计算。
3. 未知数的最高次数为2。
4. 将方程化为一般形式：时，需满足。

下面我们接着介绍一元二次方程的一般解法。因为比较简单我们就用几个例子直观说明。

通用的解法大致有三种：

（1）配方法；

，我们配方为，解得。

（2）因子分解：该方法有四个步骤。第一步是把方程右边变成零。第二步，对方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次方程乘积的形式；第四步，

通过一次方程写出方程的两个解，例如：

（3）公式法：，它实现的前提是先将方程转化为一般形式：，我们再用判别式对此方程进行判别，则有当时，有两个实数根且互不相同；当时，无解，即不存在实数根；当时，有两个值相等的实数根，即。

一元二次方程的内容差不多就是这些，主要给我们提供方程组解法的思路和拓展，接下来我们更近一步介绍一元高次方程的一些性质及解法。

1.2一元高次方程的解的推广

定义1.2.1只有一个未知数且最高次数高于2次的整式方程称为一元高次方程。高次方程的一般形式为：，初次拿到一个高次方程大家都会头疼，无从下手，其实我们要秉承一个高次方程的解法思想：通过适当的方法，把我们需要求解的方程化为次数较低的方程求解，比如三次我们就可以使用适当的方法化为二次，也就变成了我们熟悉且能解的方程。

定理1.2.1对于一个一元高次方程，未知数次数在五次及五次以上则不存在通用代数解和根公式，即通过未知数各项系数进行四则运算，乘方，开方等无法计算出高次方程的解，这个就是阿贝尔定理。

下面我们就介绍三次和四次方程的解法，这里就要先介绍两个有名的数学家范盛金和费拉里，范盛金给出了一元三次方程的公式解法，费拉里给出了一元四次方程的公式解法，这对于高次方程的求解具有里程碑的意义。

定理1.2.2 盛金公式：

给定一元三次方程的一般形式：，；

我们有重根判别式： ， ，

总判别式：

盛金判别法：

①：当时， 方程有一个三重实根；

②：当＞时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

③：当时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当＜时，方程有三个不相等的实根。

有了判别式，我们接下来就可以给出计算一元三次方程的盛金公式。

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