论文总字数：6675字

目 录

0 引言 3

1 问题的提出 3

2 多元函数凹凸性定义 3

3 二元函数凹凸性判定方法 4

4 关于二元函数的等价性条件 7

5 n元函数的凹凸性定义 10

6 n元函数凹凸性的判别方法 10

7 结论 13

参考文献 13

致谢 14

多元函数凹凸性探讨

丁晨

，China

Abstract：In this thesis，on the basis of mastering the concavity and convexity of multivariate functions, it gives the definition of concave and convexity of multivariate functions by analogy. Starting from the definition of concave and convexity of multivariate functions, the typical binary function in multivariate functions is taken as the research object. In this paper, the method of determining the concave and convexity of binary functions is given. From the angles of inequality and geometry, several equivalence conditions of the concave and convexity of binary functions are derived respectively, so that the concave and convex properties of the functions can be further understood. Furthermore, the definition and determination method of concave and convexity of n-variable functions are given, and verified by an example. The method of determining the concavity and convexity of multivariate functions is proved better by combining theory and practice.

Key words：binary function, multivariate function; concavity and convexity; determination method

0 引言

函数的凹凸性是数学分析课程中关于函数性质重要的知识点，并且在函数研究分支中具有相当重要的地位.到目前为止，对一元函数的凹凸性的研究结果已经相当丰富，但是在实际应用中往往需要考虑多元函数的凹凸性.在研究多元函数的凹凸性过程中，我们发现函数凹凸性在数学分析的许多领域中都有关键的作用,尤其是在描绘函数图形和判断函数的极值等方面.文献[1]给出了多元函数凹凸性的定义和基本的判定方法；在文献[2]中，给出了二元函数凹凸性的几个等价性充要条件，并从几何角度解释了多元函数凹凸性在图形方面的特征；文献[3],[4]则推理给出n元函数的凹凸性的定义及基本判定方法.众多学者研究的内容全面而广泛，实用价值很高，并对我这次完成论文提供了清晰的思路和帮助，但大部分的文献中只是对其中特殊函数的凹凸性进行研究，而本文则将对这些多元函数的定义及判别方法进行归纳总结并举例说明.

1 问题的提出

函数的凹凸性是我们研究函数本身性质的一个重要因素之一，而且在对函数的图形的描绘和判断极值等方面具有重要的地位.在先前的学习中，我们已经初步了解到一元函数的凹凸性判别方法，但是多元函数的凹凸性的研究在课本上却很少介绍.因此，对我们而言，对多元函数的凹凸性性质和判别方法研究是具有远大研究前景的.

2 多元函数凹凸性定义

定义2.1^[1] 设为凸区域，定义，若存在内的任意两点及任意常数，

当 （1）

则称函数在凸区域内为凸函数.

当

则称函数在凸区域内为凹函数.

注：

当时，对任意的常数，该等号恒成立；

当时，或，该等号恒成立.

定义2.2^[1] 设为凸区域，定义，若存在内的任意两点及任意常数,

当

则称函数在凸区域内为严格凸函数.

则称函数在凸区域内为严格凹函数.

推论^[1]：若对凸区域内任意两点和任意的，满足，有

则称函数在凸区域内为凸函数.

注：当,满足，且（1）式为严格不等式时,则称函数在凸区域内为严格凸函数，否则称其为凸区域内的严格凹函数.

3 二元函数凹凸性判定方法

在研究多元函数的凹凸性判别方法时，为了方便理解，我们不妨先研究二元函数的凹凸性判别方法，从而进一步推广到元函数的凹凸性.

定理3.1 设二元函数在区域内有定义，记，，

（1）若在区域上满足，且，在区域上是凸函数；

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