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目 录

0、引言 1

1、问题的提出 3

2、预备知识 3

2．1定义概述 3

2．2定理概述 4

3、空间曲线方程的求解与形式互化 5

3．1求解空间曲线方程 5

3．2空间曲线方程的形式互化 8

4、空间曲线参数方程的应用 10

4．1利用参数法求解弧长 10

4．2利用解析法求解基本三棱形 14

4．3利用公式计算曲率和挠率 17

5、典型例题分析 19

5．1求解切线向量的三种方法 19

5．2求解平面投影曲线的多种题型 22

6、切线向量求解方法的延伸 27

7、总结与探讨 29

参考文献 31

致谢 32

空间曲线参数方程及其应用

陈浩宇

，China

Abstract: Space curve is an important and complicated subject in analytic geometry and differential geometry. Firstly, this paper discusses the basic solutions of solving the parametric equation of space curve and key points when we select the parameter for transforming the equation form, secondly, this paper gives the corresponding solutions of solving the problems of arc length, basic triangular prism, curvature and torsion of the space curve, thirdly, the solutions of tangent vector and space curve's projection on the flat surface are summarized respectively, finally, this paper extends the method of solving tangent vector of curve.

Key words: Space curve; Parametric equation; Curvature

0、引言

在解析几何以及微分几何的研究中，空间曲线是十分重要且繁复的内容．空间曲线的繁复主要体现在其方程在形式上具有多样性，比如一般方程、参数方程等，并且相对应的空间曲线参数方程相关问题的求解方法、解题思路和解题方法也不同．阅读有关教材，也能够发现其中关于空间曲线参数方程问题的多样化的讨论．如果能够学会多从不同的角度去看待、分析题目，采取不同的解题思路，就会发现面对同一个问题的另一种解题方法．然后经过反复的思考和对比，从而选取最优的解题方法．因此，本文主要通过比较不同的实例来列举出相应的求解空间曲线参数方程相关问题的解法和解题思路，对某些具有多种题型或是多种求解方法的空间曲线问题进行归纳，进一步地，对比分析各个解题方法的优劣之处．此外，对于相关定理和公式也需要进行证明和推导．

1、问题的提出

空间曲线参数方程的相关问题是解析几何以及微分几何研究当中重要内容．其求解方法较为繁复且有着多样的解题方式，因此，在其实际应用也常常遇到阻碍．对于空间曲线参数方程的一些较为基础的问题，国内外有关的文献也较少．在综合了有关空间曲线参数方程的相关论文以及教学书籍后，本论文主要列举了各类空间曲线参数方程相关的问题，针对不同题型的解题方法进行归纳，从而得到在不同情况下的相关问题的较优的解题方法．解决这些问题，不仅对我们了解和温习空间曲线参数方程的重点知识的有益，也方便对此学科某类问题解题方式的探索，从而对解决解析几何以及微分几何中的其他问题起到积极的作用．

2、预备知识

在求解具体的空间曲线参数方程相关问题之前，只有对相关的定义定理有了较为充分的理解，才能更好的学习问题的求解方法．因此，在详细阅读了文献[1]与文献[3]中有关空间曲线的参数方程的相关内容后，我们将在本节介绍求解空间曲线方程相关问题所需要的定义和定理，从而加深对定义定理的巧妙与实用的领悟，为求解有关空间曲线的参数方程的一些较难的问题打下坚实的基础．

2.1定义概述

向量以及向量的运算被广泛应用于求解空间几何问题的过程中，同时也是解决空间曲线问题的一项重要的基础内容．只有熟练掌握它们的定义定理，我们才能在解题过程中对其进行灵活的转换和使用．那么接下来我们就对求解空间曲线过程中，需要涉及到的一些重要定义进行一个初步的了解．

定义1^[3] ：对于向量，作有向线段，把表示的向量，称为与的和，记为，即．

定义2^[3] ：实数与向量的乘积是一个向量，它的模为；的方向，当时与相同，当时与相反，当时，．

定义3 ^[1] ：两个向量的模和其夹角余弦的乘积称为向量的内积，记做，即为

，其中为和的夹角．

定义4 ^[1] ：已知有向量，其向量积记做，模为，其中为和的夹角，向量积的方向与和都垂直，且以，，的顺序构成了右手标架．

定义5 ^[1] ：给出某一空间中的向量，若先求解前两个向量与的矢性积，再将所求解的矢量与矢量的作内积，则所求结果即为的混合积，记做或或．

2.2定理概述

现在，我们对向量以及它的部分运算规则的定义有了一个初步的认识．然而仅仅依靠上述的定义，在求解各类空间曲线方程问题时是远远不够的．我们还需要了解相关问题的实际求解过程中所需要的拓展定理，从而在求解实际问题时思路更加清晰．

定理1^[1](向量数量积) ：在直角坐标系下，运用向量分量来表示数量积，我们设，，那么我们有

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