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摘 要

在构件的设计和校核时，构件所能承受的或所受的最大强度的计算往往是其中的重点。对于构件强度有较大影响的一类问题便是应力集中现象，应力集中点通常是需要重点验证的点。而在弹性体的缺陷周围经常有应力集中现象的发生，对构件的强度安全性能造成威胁。本文意在通过三维弹性场的理论推导，利用Boussinesq位移势函数法，研究表面纳米缺陷对弹性厚板的位移场和应力场的扰动，计算得到对于表面缺陷对于应力场的扰动分析。

首先我们根据所要求解的问题的特点，确定了合适的力学模型，便于后面的计算和分析工作进行。接着根据所确立模型的几何特点和所受荷载形式选取了合适的位移势函数，使其能够完全包含弹性体的所有变形形式。进行代换后的球坐标系下的Boussinesq位移势函数的弹性场推导工作，并且对所选取的位移势函数进行位移和应力的求解工作。根据弹性力学理论的分析确立各个边界的边界条件，通过对边界条件的拟合得到控制方程。在控制方程的求解过程中，要进行基于勒让德多项式实现无穷级数形式的微分方程组向有限项的代数方程组的转化，然后对其进行数值求解。最后将求解结果带回弹性场的表达式中，对位移和应力关于凹坑表面本构关系系数、特征长度、基体弹性常数、荷载强度等的参数依赖关系研究。

关键词： 位移势函数；弹性厚板；表面缺陷

The disturbance of surface defects on the elastic field of a thick-plate

Abstract

When the component's design and verification, the calculation of the maximum strength that the component can bear is often the key point. A class of problems have a great influence on the strength of the component is the phenomenon of stress concentration, the stress concentration point is usually need to focus on the verification. In the elastic body, the stress concentration phenomenon often occurs around the defect, which is a threat to the strength and safety of the component. The main purpose of this paper is through the three-dimensional elastic field theory, by using the Boussinesq displacement potential function method, study the disturbance of on the surface of nano defects of elastic plate displacement field and stress field, calculate the stress concentration factor for the elastic field. At first, according to the characteristics of the solution to the problem, a suitable mechanical model is established, which is convenient for the calculation and analysis. Then, according to the geometrical characteristics of the model and the load form, the appropriate displacement potential function is selected, so that it can fully contain all the forms of deformation of the elastic body. The elasticity of substitution of spherical coordinate Boussinesq displacement potential function field is deduced and selected the displacement potential function of displacement and force calculation of work should be. According to the analysis of the theory of elastic mechanics, the boundary condition of each boundary is established, and the control equation is obtained by fitting the boundary conditions. In the solution of the governing equations, the transformation of the algebraic equations of the differential equations with infinite series to the finite terms is carried out based on Legendre polynomials. In the expression of the elastic field, the relationship between the displacement and stress on the constitutive relation coefficient, the characteristic length, the elastic constants of the matrix and the load intensity is studied.

KEY WORDS: displacement potential function, elastic thick plate, surface defect

目 录

摘 要 I

Abstract II

目 录 III

第一章. 绪 论 1

1.1 引言 1

1.2 具有表面纳米缺陷的弹性体的理论研究 1

1.3 推导过程中应用的方法介绍 2

1.3.1 位移势函数方法 2

1.3.2 贝塞尔函数与勒让德多项式的相关性质 6

1.3.3 不同坐标系下的Boussinesq位移势函数的弹性场 8

1.3.4 Hankel变换 10

1.3.5 勒让德多项式级数形式的半程展开 11

1.4 本文的研究目的和主要工作 11

Figure 1几何模型与坐标系 12

第二章. 求解过程 14

2.1 建立求解方法 14

2.2 确定边界条件 14

2.3 选取Boussinesq位移势函数并求解弹性场表达式 15

2.4 拟合边界条件得到控制方程 22

第三章. 数值解过程 24

3.1 Half-Range Expansion处理 24

3.2 和Howlland’s integrals的计算 25

3.3 利用勒让德多项式的正交性求解 26

第四章. 结果讨论 28

Figure 2 当凹坑的半径分别取0.2和0.4随着值的变化 28

Figure 3当凹坑的半径分别取0.2和0.4随着值的变化 29

Figure 4 随着值的变化 29

第五章. 总结与展望 31

5.1 本文工作总结 31

5.2 后续工作展望 31

致谢 32

附录 33

参考文献（References） 39

绪 论

• 1. 引言

在材料力学的学习过程中，我们知道了决定构件强度的是构件中的应力最大处。而由于构件的缺陷导致的应力集中现象往往会产生构件中的最大应力，是影响构件强度的关键因素，在构件的强度设计中应该给予足够的重视。

弹性体的表面面积与其体积的比例系数大约等于它的特征长度的倒数，例如，对于半径为R的球形构件，这一比例系数约为1/R。在纳米量级时，这个比例系数高达10^9 (1/m)，这时，弹性体的表面应变能在系统总应变能的构成中，将变得与体积应变能相当，成为系统总能量的主要部分。

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