关于不变圆环附近的轨道的形态的研究

论文总字数：10644字

摘 要

分形几何学是当前流行的一门新兴理论，其主要研究具有自相似的层次结构的图形的性质。一方面，许多具有此种结构的图形，将几何美学与视觉形态融为一体，具有较高的艺术性。另一方面，注意到分形集合可能是近似自相似或者统计相似的，这就给我们的计算机实现带来了便利。本文简述了分形理论的基础知识与绘制分形相关图形的计算机算法，并用之绘制了某类向量场周期解附近的具有分形结构的轨道图形。

关键词：分形，自相似性，标度不变性

The study of trajectories near invariant circles

07112133 Wei xinmeng

Wu Hao

Abstract

Fractal geometry is the popular theory concerning about the graphics with the self-similar structures. On one hand, those graphics with such structures have high artistic value, because their visual forms contain the geometric aesthetics in general. On the other hand, they also do good to virtual reality for their self-similar structures. In this thesis, we briefly introduce the basic ideas of fractal theory and the algorithm for drawing fractal graphics. Then by using them, the trajectory near periodic solution can be drawn in some vector fields.

Key Words：fractal,self-similarity,scale invariance

目录

摘要 i

Abstract ii

1. 引言 1
2. 分形理论 6

2.1 分形的定义与性质......................................................6

2.1.1 分形的定义......................................................6

2.1.2 分形的性质......................................................6

2.2 分形几何学............................................................7

2.2.1 分形维数........................................................7

2.3 分形的意义............................................................9

1. 分形算法 10

3.1 递归算法.............................................................10

3.2 IFS迭代函数系统......................................................10

3.3 分型算法的特点.......................................................11

1. 分形图形绘制实例 12

4.1 康托三分集...........................................................12

4.2 科赫曲线.............................................................12

4.3 IFS迭代函数系统生成的曲线............................................13

4.4 不变圆环附近的轨道的形态.............................................14

1. 附录 16

致谢 18

参考文献 19

1. 引言

分形理论是现在非常流行的新理论，是如今受到广泛关注的新学科。那么何为分形？分形这个概念最早是被美籍数学家曼德博罗（B.B.Mandelbrot）提出的。曼德博罗发表了一篇名为《英国的海岸线有多长？统计自相似性和分数维度》的著名论文。曼德博罗在论文中提到，海岸线不是一条光滑的曲线，他的特点就是极其不规则、极其不光滑，是一条很复杂的蜿蜒曲线。所以，我们并不能单纯的说某一段海岸线与另一段海岸线在结构上或者形状上有什么不同，因为如果我们把两段海岸线放在一起的话，它们肯定不可能是完全重合的，但是它们在大体形态上是相似的，也就是说，它们都是刚才提到的不规则、不光滑的曲线。并且，如果我们截取某一段海岸线，那么我们会发现这一段海岸线与整体的海岸线与具有这种形态上的相似性。事实上，这种具有自相似性的形态在自然界中广泛存在，比如连绵的山川、漂浮的云朵、树冠和花菜等等，曼德博罗把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，所以分形理论也被称为是大自然的几何学。这篇论文是曼德博罗第一次提到关于分形的研究，而在1975年，曼德博罗创立了分形几何学。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。不过，虽然分形这个词最早是曼德博罗提出的，但最早关于分形的工作可以追溯到1875年，当时德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，维尔斯塔拉斯函数（图1）是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为他处处不可微，并不知道每个点的方向是怎样的。维尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，因为将维尔斯特拉斯函数的任何一部分放大，我们所看到的局部图都与整体图相似，不过在当时，分形这个概念还并没有诞生。还有就是集合论的创始人康托（G.Cantor）构造了有许多奇特性质的康托三分集（图2）。康托三分集是将一条直线段三等分，去掉中间一段而取剩下两段，然后再把剩下的两段再分别三等分，然后同样是去掉中间一段，取剩下两段。将这样的操作重复下去，那么所得到的线段会越来越多，在极限情况下，会得到一个点集，这个点集就是康托三分集。而在这个点集中，如果我们放大一个局部，那么得到的图像是与整体点集相似的一个图像，所以康托三分集同样是具有分形特点的集合。这是在分形提出之前的一些关于分形的研究，那么在分形提出以后，1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线（图3）。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出了类似雪花的一类曲线，被称为科赫雪花曲线（图4）。科赫曲线是非常经典的分形图形，它的每个边上的局部图形都是具有自相似性的，都与整体相似。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了像地毯一样的图形，被称为谢尔宾斯基地毯（图5）。谢尔宾斯基地毯采用的是用正方形进行分形构造，谢尔宾斯基地毯和它本身的某一部分是完全相似的。而在1910年分形维数理论被提出，并在之后的研究中，许多数学家都对分数维的发展做出了贡献。

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