论文总字数：26110字

摘 要

Abstact.................................................................Ⅱ

第一章 绪论 1

1.1选题的背景与意义 1

1.2不确定性量化概述 1

1.2.1数学建模中的不确定性 2

1.2.2不确定性量化的手段 3

1.3偏微分方程及有限元概述 3

1.4论文结构安排 3

第二章 阈值电压模型的建立 4

2.1SOI MOSFET 4

2.2器件的二维模型 4

2.2.1建立电势方程 5

2.2.2阈值电压的求解 6

第三章 椭圆型偏微分方程的数值解 7

3.1泊松方程的定解问题 7

3.2有限元方法 7

3.2.1网格剖分及形函数的建立 8

3.2.2变分方程 10

3.2.3伽辽金法 11

3.3模型求解 12

第四章 正向不确定性量化 13

4.1随机偏微分方程的特殊性 13

4.1.1边界条件敏感性 13

4.1.2解的结构敏感性 13

4.2广义多项式混沌法 14

4.2.1正交多项式 14

4.2.2广义多项式混沌 17

4.2.3多项式混沌展开的统计特征 18

4.3随机伽辽金法 19

4.4蒙特卡洛法 20

4.5随机配点法 21

4.5.1数值求积 21

4.5.2插值型数值求积 21

4.5.3高斯点 22

4.5.4随机配点 23

第五章 模型的程序实现 24

5.1程序基础与思路 24

5.1.1蒙特卡洛法流程图 25

5.1.2随机配点法流程图 26

5.1.3随机伽辽金法实现思路 27

5.2程序关键步骤解析 28

5.3运行结果 30

第六章 总结与展望 34

6.1方法总结 34

6.2未来工作展望 35

致 谢 36

参考文献 37

摘 要

本文对SOI MOSFET器件的阈值电压进行建模，分析了工艺过程中的不确定性对其造成的影响，并比较了不同量化方法的优劣。

首先建立SOI MOSFET器件的二维物理模型，对其进行适当的简化，通过静电学中的泊松方程描述电势在整个硅膜中的分布。考虑半导体器件制备中掺杂过程无法保证绝对精确，假设掺杂浓度是一个满足正态分布的随机变量，泊松方程可转化为带有随机项的随机偏微分方程。针对该方程，采用两种非侵入式的手段和一种侵入式的手段进行不确定性量化，其中非侵入式手段分别是蒙特卡洛法和随机配点法，侵入式手段为随机伽辽金法。前两种方法将该偏微分方程在确定点处转化为确定的方程，利用有限元法进行求解；而随机伽辽金法是从源头上将方程在随机空间上展开进行求解。得到空间电势的分布后，对硅表面电势与体电势进行比较，取最小表面电势等于两倍体电势的栅极电压为阈值电压。

本文作出阈值电压的频率分布直方图，以蒙特卡洛法计算得到的均值和方差作为基准，比较了随机配点法与之在计算成本上的差异，并对随机伽辽金法进行了简要分析，最后给出了三种方法的优缺点。

关键词：SOI MOSFET，阈值电压，随机偏微分方程，有限元，不确定性量化

Abstract

This paper models the threshold voltage of SOI MOSFET devices, analyzes the impact of uncertainty in the process, and compares the advantages and disadvantages of different quantification methods.

Firstly, the two-dimensional physical model of the SOI MOSFET device is established and simplified. The Poisson equation in electrostatics is used to describe the distribution of the potential in the entire silicon film. Considering that the doping process in semiconductor device fabrication cannot guarantee absolute accuracy, assuming that the doping concentration is a random variable that satisfies the normal distribution, the Poisson equation can be transformed into a stochastic partial differential equation with random terms. For this equation, two non-intrusive methods and an intrusive methods are used to quantify the uncertainty. The non-intrusive methods are Monte Carlo method and stochastic collocation method, and the intrusive method is stochastic Galerkin method. The first two methods convert the partial differential equation into a certain equation at a certain point, and solve it by the finite element method. The stochastic Galerkin method solves the problem by expanding the equation on the random space from the source. After obtaining the distribution of the spatial potential, the silicon surface potential is compared with the bulk potential, and the gate voltage making the minimum surface potential equal to twice the body potential is taken as the threshold voltage.

In this paper, the histogram of the frequency distribution of threshold voltage is taken. The mean and variance calculated by Monte Carlo method are used as the benchmark. The difference computational cost between the stochastic collocation method and the Monte Carlo method is compared. The stochastic Galerkin method is briefly analyzed. Finally, the advantages and disadvantages of the three methods are given.

KEY WORDS: SOI MOSFET, threshold voltage, stochastic partial differential equation, finite element method, uncertainty quantification

1. 绪论

1.1选题的背景与意义

自1947年贝尔实验室制造出第一个晶体管开始，人类进入了飞速发展的电子时代。1965年因特尔创始人之一的戈登摩尔提出了“每18个月集成电路的集成度翻一番，性能提高一倍”的论断。在过去的几十年中，世界半导体产业确实遵循“摩尔定律”迅猛发展，器件尺寸不断缩小，集成密度不断提高，最新的工艺节点已发展至5nm以下。

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