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摘 要

本文针对电磁理论中势函数方法进行研究，主要包括三个方面的内容，第一是静电场的电势方法，包括静电势满足的微分方程以及它的求解方法；第二是静磁场的势函数方法，包括磁矢势的微分方程和它的方法；最后研究时变场的推迟势方法。另外本文还结合实际给出了一些应用示例，以便巩固有关方法和知识。

关键词：势函数，静电场，静磁场，时变电磁场

Abstract: In this paper, the methods of electromagnetic potential function are investigated. Three aspects are considered mainly, the first is the electric potential method of the static electric field，including the differential equation for electrostatic potential and its solving method, and the second is the method for the potential function of the static magnetic field，including the differential equations of magnetic vector potential and its methods also, finally the method of retarded potential of time-varying field is processed. In order to consolidate the relevant methods and knowledge, some application examples are given also in this paper

Key words: potential function；electrostatic field；static magnetic field；time-varying electromagnetic field

目 录

1引言 4

2 静电场的电势法 4

2.1静电势及其满足的方程 4

2.2 静电势的求解方法 5

3 静磁场的势函数方法 10

3.1磁矢势法 10

3.1.1磁矢势及其满足的方程 10

3.1.2磁矢势的求解方法 10

3.2磁标势法 13

4.时变场的推迟势方法 13

4.1时变场的势函数及其满足的微分方程 13

4.2推迟势的多极展开技术 14

4.3 应用 15

结 论 16

参考文献 17

致谢 18

1引言

电磁理论中的势函数，不论是在经典场论，还是在量子场论以及粒子物理中都有着十分重要的地位；在分子或原子体系的许多基本问题、原子核物理的研究等方面都有着十分重要的应用，因此，研究电磁理论中的势函数及其相应的求解方法是有意义的。

势函数亦称位函数，是场论中的一种特殊函数，包括标势与矢势。在电磁理论本身的框架内，用势函数方法求解电磁场问题应属于间接方法，虽然存在过多自由度，即给定场分布可有许多个势函数与之对应，但因能够给解决问题带来许多方便，故势函数方法仍被人们广泛使用。①在静电学中，依据保守场的无旋性质引进电势函数，求解标函数总比求解矢函数方便，场的叠加原理便是一例。②而在静磁学中，利用磁场的无源性引入磁矢势函数，从形式上看，虽然仍是矢量，但比直接求

解磁场要方便，例如，已知电流求解磁场，运用特解与毕奥-萨伐尔定律，显然前者比后者方便。③对于时变场，电标势与磁矢势联合共同确定电磁场矢量、，势函数所满足的达朗贝尔方程

与场矢量遵守的麦克斯韦方程组等价，达朗贝尔方程的特解为推迟势，推迟矢势作为计算的基础，常用此研究电磁辐射等问题。综上所述，势函数方法具有许多优点。本文就静电场、静磁场、时变场中的势函数理论及应用进行探讨。

2 静电场的电势法

2.1静电势及其满足的方程

静电场的标势是一个很重要的概念，静电问题常常都是通过标势来求解的。在静电的情况下电势与电场的关系为

，

若研究空间的电场分布与激发电场的源之间的局域关系，需要借助微分形式的场方程。在均匀、各向同性线性介质中，有

此即泊松方程。若在所研究的区域内没有自由电荷体密度，则泊松方程就变成拉普拉斯方程，。

2.2 静电势的求解方法

静电势的求解方法我们可以分为两个部分，第一个是电势叠加原理法，即特解法；第二个是求解电势的边值问题法^[1]。

(Ⅰ)下面我们来先看看电势叠加原理法。为了计算给定电荷分布所激发的电势，从点电荷Q所激发的电场出发，其强度为

(1)

其中，是源点与场点之间的距离。由于电场具有叠加性，多个点电荷所激发的电势就等于每个电荷激发电势的代数和。假设有一组点电荷与场点P的距离是，则所激发的电势之和为

(2)

对于电荷连续分布情况，设电荷密度是，源点与场点之间的距离为，则场点处的电势为

(3)

值得指出，(2)式及(3)式均隐含着电荷分布在有限区域，即已选无限远为零电势参考点的条件。当电荷分布在无限区域，若用(3)式进行计算则结果会发散。关于电势零点的选择，讨论如下：

在点电荷的场中，不能选取点电荷所在处参考。同理，线电荷也不能选取线电荷所在处参考。

在均匀电场中，不能选取无限远处参考，否则各处，失去意义。

若电场满足形式，则可取参考。因为，只当时结果才为有限。可见，均匀电场E=常量；均匀带电长直（或圆柱），；……；均不可取参考。

常见的有限范围内的电荷系统如下：

对电势多极展开时，得到,其中的每项，在无限远处均为零，故可选参考。

对于无限大接地导体平面,附近有一电荷Q。表面上看“无限大”导体，但导体平面上感应电荷是分布在有限范围，利用电像法可知：面电荷分布规律为，其中a为点电荷Q到导体平面的距离，故属于。

再者，虽然电荷分布于全空间，但在离开中心的地方电荷密度满足，则仍可选参考。设，运用高斯定理可得，即，其中用排除奇点。当时，该式第一、二项均满足前述条件。

还有，如若，则因为，仍可选参考。

所以，尽管零电势点的选择具有任意性，但在同一问题中不可以同时选用两个不同的零电势点参考。为使空间各点的值有限，且能够由求出电场，就需要注意选择电势的参考零点。

(Ⅱ)下面我们再来看看电势的边值问题法，即解电势的定解问题。按照以下三个方面研究电势的边值问题，第一是电势所满足的定解方程与定解条件；第二是齐次方程的求解（分别在直角坐标系、球坐标系、柱坐标系中）；第三是非齐次方程求解（电像法、复杂问题的拆分法）。

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