边界条件对重叠型区域分解算法收敛速度的影响

论文总字数：27370字

摘 要

近年来，复杂大规模电磁场问题的解算已经成为计算电磁学研究热点之一。其应用相当广泛。在大规模电磁场问题的计算中，若要保证高精度，就需要求解大规模的线性代数方程组，其中包含巨大的未知量数目和计算量，使得普通的计算资源很难满足计算要求。为了克服这一困难，有学者提出了区域分解法，它们可以将大规模问题转化为多个相似的小问题计算，从而减少了计算机需要同时记录的未知量数目。若能够有效利用网格离散后形成的稀疏矩阵系数分布特点，还可进一步减少未知量的存储数目以及求解过程需要的计算量，并可减小算法复杂度随区域扩大而增加的速度，极大地节约了计算资源。对于区域分解算法来说，迭代解的收敛速度直接影响算法的计算效率。本文的主要工作是以金属方波导为例研究边界条件对重叠型区域分解法收敛速度的影响。在波导激励端与输出端的物理边界上分别设置Mur吸收边界条件或Dirichlet边界条件，并观察其收敛效果和计算精度。数值算例表明，激励端为第一类边界条件，输出端为第三类边界条件的情况数值解对解析解的拟合情况最好；两端均为第三类边界条件的情况则次之；激励端为第三类边界条件，输出端为第一类边界条件的情况拟合效果更差；特别，当两端都设置为第一类边界条件时，区域分解算法发散。所以Helmholtz方程区域分解法的收敛性能依赖于边界条件的设置。

对数值结果进一步分析发现，如果将激励端的场值直接设置为激励场，而无需设置成散射场的吸收边界条件，其数值精度最高，收敛性能也最好。

关键词：电磁场问题、Helmholtz方程、区域分解法、Mur吸收边界条件

ABSTRACT

In recent years, the solution of complex large-scale electromagnetic field problems has become one of the research hotspots in computational electromagnetics. Its application is quite extensive. In the calculation of large-scale electromagnetic field problems, in order to ensure high precision, it is necessary to solve large-scale linear algebraic equations, which contain a huge number of unknowns and calculations, making it difficult for ordinary computing resources to meet the calculation requirements. In order to overcome this difficulty, some scholars have proposed a regional decomposition method, which can transform large-scale problems into multiple similar small problem calculations, thereby reducing the number of unknowns that the computer needs to record at the same time. If the distribution characteristics of the sparse matrix coefficients formed by the mesh discretization can be effectively utilized, the number of unknowns and the amount of calculation required for the solution process can be further reduced, and the speed of the algorithm complexity can be reduced as the region is expanded, and the speed is greatly increased. Saves computing resources. For the region decomposition algorithm, the convergence speed of the iterative solution directly affects the computational efficiency of the algorithm. The main work of this paper is to study the influence of boundary conditions on the convergence speed of the overlapped domain decomposition method by taking a rectangular metal waveguide as an example. Dirichlet boundary conditions or Mur absorption boundary conditions are set on the physical boundary between the excitation end and the output end of the waveguide, and the convergence effect and calculation accuracy are observed. Numerical examples show that the excitation end is the first type of boundary condition, and the output is the third type of boundary condition. The numerical solution has the best fit to the analytical solution; the case where both ends are the third type of boundary condition is the second. The excitation end is the third type of boundary condition, and the fitting effect is worse when the output end is the first type of boundary condition; in particular, when both ends are set to the first type of boundary condition, the area decomposition algorithm diverges. Therefore, the convergence performance of the Helmholtz equation region decomposition method depends on the setting of boundary conditions.

Further analysis of the numerical results shows that if the field value of the excitation end is directly set to the excitation field without setting the absorption boundary condition of the scattering field, the numerical accuracy is the highest and the convergence performance is also the best.

Keywords: Electromagnetic field problem, Helmholtz equation, domain decomposition method, Mur absorption boundary condition

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

第一章 绪论 1

1.1 研究背景及现状 1

1.1.1 计算电磁学数值方法综述 1

1.1.2 区域分解法的发展 2

1.2 本文研究的主要工作 3

第二章 电磁场方程有限差分法 5

2.1 电磁场基本原理 5

2.1.1 电磁散射原理 5

2.1.2 Maxwell方程组 5

2.1.3 边界条件 6

2.2 Helmholtz方程及其差分格式 7

2.2.1 Helmholtz方程 7

2.2.2 五点差分格式 8

2.3 吸收边界条件及其差分格式 10

2.3.1 Mur边界条件 11

2.3.2 吸收边界条件的差分格式 12

2.4 本章小结 13

第三章 区域分解法收敛特性研究 14

3.1 波导问题的区域分解算法 15

3.1.1 问题描述 15

3.1.2 区域分解算法步骤 16

3.2 线性代数方程组求解 19

3.2.1 带状矩阵的压缩存储 19

3.2.3 求解方程组的共轭梯度法 20

3.3数值算例与结果分析 22

算例1： 23

算例2： 24

算例3： 26

算例4： 28

3.4 本章小结 29

第四章 总结与展望 31

参考文献 32

致 谢 35

第一章 绪论

1846年Maxwell总结了前人的一系列电磁理论提出了反映电磁场时空变化规律的Maxwell方程组，使得通过数学手段求解特定区域的电磁问题获得解析解成为可能。随着科学技术的发展，电磁场的应用日趋广泛，对电磁场进行控制和利用的研究日趋深入，这就对人们求解大型复杂电磁场问题的能力提出了更高的要求。然而随着问题的大型化和复杂性，要求得精准的解析解变得愈发困难，计算电磁学(Computational Electromagnetics)的出现为解决这些复杂问题提供了另一种选择。

1.1 研究背景及现状

近年来，复杂大规模电磁场问题的解算已经成为计算电磁学研究热点之一。其应用相当广泛，如航天航空、卫星通讯和遥感、大型天线阵列特性分析与设计、目标体雷达散射截面计算、大型船舰的电磁兼容问题等等军事和通讯领域的应用，以及在多芯片组件、微波单片集成电路、多层PVB等三维微波结构分析与设计等。为适应不同问题的计算需求，人们逐步研发出各种计算电磁学数值方法。

1.1.1 计算电磁学数值方法综述

按其理论依据分类，常见的计算电磁学数值方法主要分两大类：以有限差分法(FDD)和直线法(MOL)为代表的一类方法以电磁场的微分方程为基础，称作微分类数值方法；以矩量法(MOM)和边界元方法(BEM)为代表的另一类方法则以积分方程为基础，称作积分类数值方法。

微分类数值方法最突出的缺点就是未知量太多，特别在求解开放域问题时，为了将计算区域限定在一定范围内，需要人为设置截断边界，而为了保证求解精度，截断边界需要离开求解区域一段距离，这就导致实际求解的区域比问题要求更大，而这显然会产生一系列无意义的计算，这一现象在求解三维问题时尤其严重^[1]。

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