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摘 要

本文提出了一种精确的针对椭圆型复指数信号的频率估计算法，通过分析椭圆型复指数信号的特点，推导出了可以用来估计频率的基于三点时间序列关系的频率预测模型。之后利用最小二乘法的思路，分析了椭圆型复指数信号三点预测模型的误差函数，证明了对均方误差函数的最小二乘法得出的频率估计是明显有偏的。所以，本文使用了单位约束法改进均方误差函数，再对其使用最小二乘法，这样得到了无偏的椭圆型复指数信号的的频率估计算法。本文分析了基于三点预测模型的椭圆型复指数信号频率估计算法的理论估计性能，证明了其无偏性，并在本文的最后利用MATLAB软件通过大量数值仿真，证明了该算法以及其理论性能分析的正确性，并通过和另一种基于最优间隔的复值最小二乘频率估计算法和克拉美罗下界的比较，证明了本文提出的算法的准确性。

关键词：椭圆型复指数信号，三点预测模型，无偏频率估计，最小二乘，数值仿真

FREQUENCY ESTIMATION TECHNIQUE FOR ELLIPTICAL COMLEX-VALUED EXPNOTIAL SIGNAL BASED ON THREE SAMLPED TIME SERIES PREDICTION MODEL

Abstract

This paper proposed a new accurate frequency estimation technique for elliptical complex-valued exponential signals. By analyzing the characteristics of elliptical complex-valued exponential signal, a frequency prediction model using the relationship between three sampled time series that can be utilized for signal frequency estimation was derived. Next, the error function of the prediction model was analyzed by using least squares method to derive the frequency estimation, but this kind of frequency estimation was biased. Therefore the unit constraint method was used in order to achieve the unbiased frequency estimation. In this paper the theoretic performance of the proposed algorithm was derived, and the algorithm was proved to be unbiased estimation. Then, numerical simulations by using MATLAB was utilized to prove the correctness of proposed algorithm and its theoretic performance. Finally, by comparing with another algorithm based on optimal interval and Cramér-Rao low bound, the accuracy of the proposed algorithm was proved.

KEY WORDS: elliptical complex-valued exponential signal, three sampled time series prediction model, unbiased frequency estimation, least squares method, numerical simulations

目 录

摘要 Ⅰ

Abstract Ⅰ

第一章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 椭圆型复指数信号 1

1.3 频率估计技术 3

1.4 三点预测模型 4

1.5本文的组织结构 5

1.5.1本文的研究目的 5

1.5.2本文的主要内容 5

第二章 基于三点预测模型的椭圆复指数信号最小二乘频率估计算法 6

第三章 基于单位约束法改进的最小二乘频率估计算法 13

3.1误差函数的单位约束法改进 13

3.2基于单位约束法改进的误差函数的最小二乘法 13

3.3 该算法与其他算法之间的关联与区别 15

第四章 基于三点预测模型的椭圆复指数信号的频率估计算法的统计学分析 17

4.1频率估计算法的均方误差分析 17

4.2有关频率估计算子的元二次方程两根的取舍问题分析 19

4.3频率估计算法的无偏性证明 20

4.4 频率估计算法的均方误差理论值 21

第五章 频率估计算法的数值仿真 26

第六章 结论 30

致谢 31

参考文献（References） 32

绪论

1.1 引言

现在很多理论研究和实际工程问题中，复指数信号有着十分广泛的应用。普通的复指数信号一般只含有正序列的项，这样的复指数信号处理和讨论起来相对简单，因为可以通过欧拉公式将信号拆成实部和虚部两个信号，再分别处理实部信号和虚部信号就可以完成对复指数信号的处理。然而在有些实际问题中，由于系统的非平衡性引入了负频率分量，导致复指数信号不仅有正序列，还有负序列，并且这样的正负序列的模值通常是互不相等的，如非平衡电力系统的复值系统电压。这类复指数信号在复平面上的分布是椭圆形的，所以对这类信号的参数估计问题可以被归纳为一类特殊的椭圆型复指数信号进行参数估计。

1.2 椭圆型复指数信号

椭圆型复指数信号是一种十分特殊的复指数信号，因为它不仅仅含有正频率分量，同时由于系统的非平衡性同时也引入了负频率分量。虽然在实际中，负的频率是没有实际意义的，但是在我们理论分析和研究的时候，却是有意义的，因为负频率分量也携带了一定的信号信息和能量。在分析这类信号的时候我们不能够忽视负频率分量所携带的信息和能量，并要在信号处理中开发新的算法以处理这类有着负频率分量的椭圆复指数信号。

椭圆复指数信号应用很广泛，如三点电力系统中的复值电压表示法；还有就是在通信中正交的I路和Q路信号可以转化为复指数信号来进行解调处理；以及在海洋探测领域中，探测浮标的运动轨迹分析。

在三相电力系统中，由于系统的非平衡性，经过克拉克变换（Clarke Transfer） [1]的复值系统电压中会存在负频率分量。因此我们可以通过研究非平衡三相电力系统的相电压，以推导出椭圆复指数信号的由来，它最普通的表达形式，以及椭圆复指数信号的一些特有性质。

首先我们先来假设三相电力系统中的三个相电压在理想无噪声的环境下，我们可以将三个相电压，和表示为如下的离散的表达形式，

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