论文总字数：15916字

目 录

第一章 绪论 7

1.1 本课题的提出背景和研究意义 7

1.2 线性分组码的国内外发展及研究现状 7

1.3 本篇文章的主要工作 8

第二章 信道编码的发展 8

2.1 数字通信系统 8

2.2 信道编码概述 9

2.3 差错控制系统 10

2.3.1 差错控制系统的一般模型 10

2.3.2 差错控制系统的分类 10

2.4 纠错码的分类 11

2.4.1 纠错码的常见分类 11

2.4.1 几种常见的纠错码 12

第三章 线性分组码理论介绍 12

3.1 线性分组码的定义与基本概念 12

3.2 有限域上的分组码 13

3.3 线性分组码的具体介绍 13

3.3.1 线性分组码的基本构造 13

3.3.2 监督矩阵与生成矩阵 15

3.3.3 校正子（伴随式） 16

第四章 海明码的实现与应用 17

4.1 海明码的相关概念 17

4.1.1 海明码的编码 17

4.1.2 海明码的解码 18

4.2 海明码的几种实际应用 19

4.2.1 海明码在无线遥控中的应用 19

4.2.2 海明码在视频水印中的应用 19

4.2.3 海明码在温室无线温度采集中的应用 19

第五章 海明码信道传输仿真测试 20

5.1 代码运行环境 20

5.2 本次仿真测试说明及运行结果 20

第六章 总结 22

参考文献 22

致谢 23

附录 24

附录一 海明码仿真测试代码 24

线性分组码的理论和应用

葛新磊

，China

ABSTRACT：Currently, almost all of the practical application of error-correcting codes are linear, and this paper describes the coding error correcting code system of linear block codes. For linear block codes, from the birth of the background context, the development process, meaning, application, etc. The main features and specific examples of the linear block code for a more detailed analysis and discussion. At the same time, this article on digital communications, channel coding and wherein the error control systems and other related communication systems and coding system have also been related presentations. Finally, a study of a classical linear block code - Hamming code, analyzes the application of its principles and specific ways to use CPP language simulation and his associated decoding algorithm to help us better understand and study it.

Keywords: channel coding; error correction code; linear block code; hamming code

绪论

数字通信最主要的优点之一是抗干扰能力强，采用各种差错控制编码进一步改善传输质量，所以说，差错控制编码是对数字信号进行抗滋扰编码，它的目的就是提高现代数字通讯的可靠性[1]。随着差错控制编码理论和数字技术的发展，差错控制编码在各式各样的通讯系统中得到普遍的应用。运用于差错控制编码，译码的方法多种多样,而我们所要讨论的线性分组码就是一种不可或缺的差错控制码。

在信息传输过程中，信道中会存在各种噪声与干扰，这些干扰因素会使得通信传输出现错误。信息在信道中如何可靠地传输（或者说提高其安全传送的水平）问题亟待解决，为此人们先后提出了很多的解决方法。线性分组编码方法便是其中最有效的方法之一。线性码被用于前向纠错并且在适用上的通信信道发射符号（例如，比特）的方法，这样，如果发生在通信错误，一些错误可以被纠正或由一个消息块的接收者检测。

本课题的提出背景和研究意义

本课题来源于指导老师所给予的课题：线性分组码的理论与应用。

在信道通信时，信道里存在着大量各式各样的噪声以及干扰因素，而这些将会影响信道通信的可靠性。那么如何减少信道通信中的干扰因素成了维持信道通行可靠性的首要问题，为此，研究人员提出了多种解决办法。其中，在上世纪四十年代提出，并在六十年代推广使用的一种用于提高信道通信可靠性的技术——信道编码技术由此诞生。进入本世纪，距离这种技术的诞生已经过去了60多年，在这60多年里，信道编码理论与编码技术已经相当成熟。而现在，大容量甚至超大容量的数字通信技术发展迅猛，因此数据传输的可靠性要求也越来越高，如何以尽可能少的冗余来确保越可能多的可靠的数据传输已经被提上日程。

数字信号在信道中传输时，会遇到不同的且不可避免的噪声干扰，信号响应失常，判决错误等情况时有发生。所以，我们必须寻求一种可行的纠错技术，来发现并及时改正错误，用来增强信道通讯的抗干扰能力。

添加冗余的码元是信道编码技术的核心所在，而这些冗余的码元并不是无规则独立存在的，他们之间有着一定的约束关系。在信道中，用来传输信息的码元我们称之为信息码元，而往其中添加的冗余码元就是监督码元，这两种码元一起组成为码字。在信道通信过程中，由于噪声等因素，干扰会让一定数量的码元发生变化，变化一旦发生，其中的约束关系就会不复存在或产生改变。这种改变被检测端接受并分析，由此可能可以识别出错误（是否能识别出发生的错误根据约束关系的多少决定）。由上我们就能知道如果没有这层监督码元的作用，我们最终的接受信息完全不能判别它的准确性，这些信息也许就成了无用信息。

我们都知道，对于线性分组码而言，大多数情况下，越长的码字会拥有越强的译码性能。但是，越长的码字也意味着译码代价会随之提高。人们经常见到的译码器大致有两种，并行译码器和串行译码器，这两种译码器有其各自的优缺点。而现在的主要研究正是在当前硬件条件的约束下，不断改进译码算法，提高译码器的译码速度。

线性分组码在国内外的发展情况及研究现状

上世纪40年代末，香农（Shannon）提出了信息论的概念（《A Mathematical Theory of Communication》，发表于1948年的《贝尔系统技术学报》）。在这边文章中，香农指出，当信道传输的速率R小于它的信道容量C时，总会有一种编码方法能够使其差错率接近于0。信道编码技术的存在就是用于寻找这样的编码。

在20世纪40年代，Richard Hamming和M.Golay率先提出了一个现实的信道编码方案，这极大地促进了编码理论的发展。自那时以来，M.Golay提出二元格雷码（Golay码）以及三次元格雷码（Golay码），它们拥有更强的纠错能力。在格雷码后，穆勒（Muller）提出了一种分组码，然后里德（Reed）基于穆勒的研究提出了一种新的分组码，这就是所谓的RM，也就是Reed-Muller码。和汉明码以及格雷码相比较，RM码在其纠错能力与码字长度的适应性上的表现更为出色。 RM码后，人们提出了循环码的概念。循环码也是线性分组码中的一种，但其码字拥有循环移位的特征，这极大地简化了译码结构。

上世纪60现代初，Reed Solomon码（RS码）诞生在MIT的林肯实验室，由两位科学家L.S.Reed和G.Solomon合作提出并已自己的名字共同命名。但是由于解码算法的限制，虽然RS码的纠错能力在当时较为出众，在其提出初期并未被大量使用。随后的不久时间内，Peterson以及后来的Gorensten和Zierler分别在理论和推广上为BCH码的算法做出了贡献。他们研究并用于多元码上的算法被称为PGZ算法，这种算法直观精简，但是也有着弊端：译码计算矩阵相当复杂。

步入上世纪60年代中后期，BM算法（即Berlekamp-Massey算法，由E.R. Berlekamp和J. Massey提出）的出现使得解码复杂度大大减少，从O(n³)减少到O(n²)。1975年，Euclidean算法以及1983年的WB算法的提出使得RS码,BDH码以及Goppa码的解码效率有了较大的提高。

由上可见，经历了分组码经历了半个世纪的发展，其编码译码技术和相关算法已经发展得相当成熟。但是，分组码有着两个不可避免的缺陷：1.译码延时，码字的接受时间由数据块的大小决定，分组码首先需要接受完整分组码字，因此，当数据块较大时，译码延时会比较大；2.性能损失，这方面主要是因为分组码译码是硬决策译码。为了回避分组码中固有的这些问题，Elias（1954年）提出了一种新的概念——卷积码。1967年，随着Viterbi算法的提出以及发展，卷积码在通讯中的使用得到了极大推广。

进入八十年代，高带宽系统的发展催生了TCM（网格编码）概念，带宽和纠错的矛盾得以解决。而随着九十年代的到来，信道编码领域发展也更为迅猛。Turbo码和LDPC码（低密度奇偶校验码）相继被提出，尤其是后者，凭借其高效的性能和低译码复杂度的特性，成为现代移动通信技术的关键技术之一。

本篇文章的主要工作

本篇论文旨在介绍纠错码系统中的线性分组码，从其诞生，发展，含义，应用，特点以及具体实例等方面对线性分组码进行了较详细的分析。同时，对信道编码以及其中的差错控制系统等相关编码系统也进行了相关介绍。最后，展开研究了经典的线性分组码——海明码，着重分析其应用并且利用C 语言模拟了他的相关解码算法。

信道编码的发展

2.1 数字通信系统

下图为我们直观的展示了现代通信系统流程的一般模型。

图2.1.数字通行系统的模拟流程图

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