论文总字数：24479字

摘 要

本文重演利用弛豫时间假设的玻尔兹曼方程求解一维半无限大各向同性平壁周期性加热问题，并与傅里叶扩散方程求解结果进行对比分析，验证BTE求解热传导问题的正确性的相关工作。求解出等效温度、净热流、滞后相位和有效热导等导热过程特征参数，并进行对比。通过MATLAB数值验证了：加热频率小于声子特征时间时，热扩散深度远大于声子平均自由程，玻尔兹曼方程将能和傅里叶扩散方程的求解结果保持一致；加热频率大于特征时间时，声子对导热贡献减少，并求解出了截断近似和特征时间。

最后，建立三维柱坐标情况下的玻尔兹曼方程，对热线周期性加热问题的三维问题进行求解，并与方法进行对比。解析结果形式上与一维保持一致，可以得到任意距离、任意时刻的温度情况。

关键词：BTE，弛豫时间，尺寸效应，声子，扩散方程

ABSTRACT

The one-dimensional periodic heating problem in semi-infinite solids is solved using the Boltzmann transport equation. The key parameters, e.g. the equilibrium temperature, the net heat flux, the phase lag and the effective thermal conductivity, are obtained and compared to the corresponding solutions from the traditional diffusion equation. Both analytical and numerical solutions verifies that when the heating frequency is lower than the phonon relaxation rate, i.e., the thermal penetration depth is much larger than the phonon mean free path, the Boltzmann solution can recover that of the diffusion equation, as it should. However, when the heating frequency is higher than the relaxation rate, the Boltzmann solution deviate significantly from the diffusion solution. In the latter scenario, diffusion solution overestimates the capability of phonons to transfer heat, and the Boltzmann solution should be used.

The three-dimensional periodic heating problem is also attempted. The goal is to develop a ballisticmethod for thermal measurements at time scales less than the phonon relaxation time, or length scales less than the phonon mean free path.

KEY WORDS: Boltzmann transport equation (BTE), relaxation time, size effect, phonon, diffusion equation

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

第一章 绪论 1

1.1引言 1

1.2理论研究现状 1

1.3研究突破点与创新点 2

1.4本文研究目的与主要研究内容 3

第二章 声子热传递方程 4

2.1. 声子色散关系 4

2.2. 声子散射 5

2.3. 傅里叶定律局限 6

2.4. 分布函数 7

2.5. 态密度函数 8

2.6. 玻尔兹曼输运方程 9

2.6.1. 平均自由程与弛豫时间 9

2.6.2. 玻尔兹曼方程 10

2.6.3. 热流推导 11

2.7. 双通道模型 12

2.8. 声子热传递方程 13

第三章 周期性加热问题求解 14

3.1. 傅里叶扩散模型 14

3.2. 玻尔兹曼方程求解 17

3.2.1. 模型简介 17

3.2.2. 求解过程 19

第四章 验证玻尔兹曼方程正确性 27

4.1. 温度 27

4.2. 温度边界 30

4.3. 热扩散深度 31

4.4. 表面热流 31

4.5. 滞后相位 32

4.6. 有效热导率 32

4.7. 三维周期性加热问题 35

第五章 总结与展望 36

致谢 38

绪论

1.1引言

在热传导问题中，当特征长度，如薄膜的厚度、热线直径与能量载体的平均自由程(MFP)相当时，边界散射就变得尤为重要^[1]。其中能量载体不管是电子还是声子，基于动力学理论的热导率的简单表达式均为。其中，为材料单位体积的比热容，为声子群速度，表示整体的平均自由程，即无限大材料的平均自由程。由热导率的表达式可知，热导率与平均自由程成正比，而散射过程也可能影响声子的平均自由程，所以将发生热导率的尺寸效应，即热传导过程中热扩散深度小于声子平均自由程时，基于傅里叶定律的热扩散模型将不再适用^[1]。基于玻尔兹曼方程的弹道扩散热传导模型能更加合理地解释尺寸效应^[2]。玻尔兹曼方程，即使是最简单的形式，也很难求解，因为它既涉及真实空间，也涉及动量空间，以及时间，并包含一个关于群速度的复杂非线性积分。基于弛豫时间假设的弹道扩散热传导方程，是瞬态玻尔兹曼方程的一个很好的近似，不仅求解简单方便，也能对小时间和空间尺度的热传导过程进行合理解释^[2]。

对基于玻尔兹曼方程的弹道扩散热传导模型的研究，将有助于探究在小时间尺度或者空间尺度下（非扩散过程）热导率与平均自由程MFP、弛豫时间MFT以及热源周期性加热频率、以及热源尺寸等的内在联系。

1.2理论研究现状

对非傅里叶热传导的理论研究可以追溯到上世纪五十年代，基于Fourier定律的扩散热传导方程，不适用于在短时间和小空间尺度上的热传输过程；为了解决这一难题，波型热传导方程卡塔诺方程被提出，然而该方程波状解虽然能合理解释短时尺度下的热量传输，但不能用于小空间尺度^[3]。Mahan和Claro基于稳态Boltzmann方程建立了非局部热传导模型。然而，由于热载体(电子、声子或分子)传播速度有限，该模型不包括它们的延迟^[4]。Joshi和Majomdar比较了垂直于薄膜平面的声子热传导的瞬态Boltzmann方程、Fourier定律和Cattaneo方程的解。他们得出结论，傅立叶和卡塔诺方程都不能很好地代表小规模和/或快速瞬态的热传导过程；Cattaneo方程解在稳态下，遵循声子辐射的Casimir极限；而基于玻尔兹曼方程的声子辐射传输方程(EPRT)，证明了两者都具有正确的极限行为^[5]。

随后，Gang Chen 提出了新的热传导方程，即弹道-扩散方程，这些方程是由弛豫时间近似下的Boltzmann方程导出的。计算结果表明，当平均自由程与特征尺寸相当，时间与载流子弛豫时间相当时，它们在比例上比傅立叶方程和卡塔诺方程更好。这些方程比Boltzmann方程更容易求解，并且可以很容易地结合到可用的工程软件中来处理复杂纳米结构中的快速热传导过程^[2]。

为进一步探究在小时间尺度或者空间尺度下（非扩散过程）热导率与平均自由程MFP、弛豫时间MFT以及热源周期性加热频率、以及热源尺寸等的内在联系，前人进行了各种建模和实验。研究非扩散导热过程的两个重点分别为MFP和MFT，但将MFP作为切入点的研究较多，即通过改变加热热源的尺寸来限制声子对热传导的贡献，Minnich 等人基于瞬态热反射法（TTR），通过改变加热光束的尺寸大小加热高纯度硅（平均自由程几百微米），测量平均自由程^[5]。对MFT的研究中，Kan Koh 和 David G. Cahill 通过TDTR方法，改变加热频率，证实对于一些半导体合金，其热导率存在对加热频率的依赖性，并提出重要的截至假设：加热频率升高，基于傅里叶定律计算下的热渗透深度减小到比平均自由程小时，声子将不再导热^[6]。Regner 对周期性表面加热的平壁和球形模型进行了研究，并得到解析解，并用其解释热扩散深度和热源尺寸之间的关系^[7]。

Fan Yang和C.Dames对非傅里叶热传导过程也进行了较为丰富的理论研究。对于热导率累积函数的大多数研究都采用MFP作为累积的自变量，包括模型和实验^{[8, 9]}。Fan Yang先对各向同性体材料的热导率累积函数和平均自由程谱进行了严格的理论推导，核心工作是用MFP写出动力学理论积分，作者将推导结果与前人模型的结果对比，有很强的耦合性^[10]。基于上述研究，作者以平均自由时间MFP为核心点求解Boltzmann输运方程，解析解释了具有周期平面加热的半无限体的表观热导率随加热频率的变化关系，推导得到了与Koh和Cahill相似的近似截止传导。该解是用双通量模型和灰色平均自由时间近似下得到的，并用格子Boltzmann方法和文献中的数值结果进行了数值验证^[11]。

1.3研究突破点与创新点

根据调研结果得到，目前非傅里叶热传导较新的研究为：基于弛豫时间假设的弹道扩散热传导模型，借助辐射双通道模型和灰色MFT模型，对一端边界温度为周期性变化的各向同性半无限大一维热传导问题解析解的研究。

若能给出三维问题的Boltzmann解析解，将对设计实验和解释实验结果具有极大的意义。例如，对于方法而言，方法的热学模型是一个控制方程为柱坐标微分方程，电阻焦耳热产生的热流作为边界条件之一的热学模型，但模型的建立基于很多假设，其中最重要的之一就是热扩散深度远大于热线半宽，基于傅里叶扩散热传导模型求解得到的热扩散深度与加热频率成反比，故随着加热频率的增加和半宽的减小，将会出现实验情况与理论模型不自洽的情况，这就是前文提到的尺寸效应。若能建立基于玻尔兹曼方程的三维柱坐标弹道扩散热传导模型，将能对方法进行一定的补充。这将会是一个不错的创新点和突破点。

1.4本文研究目的与主要研究内容

考虑到前人对基于玻尔兹曼方程的弹道扩散热传导模型一维情况做出了较为深入的研究，以及三维柱坐标玻尔兹曼方程的应用前景，本文建立并求解三维柱坐标弹道扩散热传导模型，将解析解与三维柱坐标傅里叶扩散模型进行对比。

基于上述研究目的和主要研究内容，本文将先介绍声子扩射与介质尺寸的关系，即尺寸效应的产生；接着介绍玻尔兹曼方程、弛豫时间近似下的弹道扩散热传导模型以及辐射双通道模型，在此基础上，对一维半无限大情况下模型的建立、求解过程以及数值验证做回顾；并对方法的建模和推导过程以及应用做简单介绍；然后介绍三维情况模型的建立和求解，最后再通过数值方法进行验证。

声子热传递方程

声子色散关系

在实际晶体当中，原子核是在其平衡位置振动，并且原子的振动对晶体中能量的储存和运输有着重要的影响。晶格振动会引起弹性波在结晶固体中的传播。声子是晶格波中的能量子，对于一个给定振动频率，声子的能量是能量的最小离散值^[12]。

声子色散关系描述了振动频率与声子波矢之间的关系。以一维双原子链为例，一维双原子链可以近似为线性弹簧-质量系统。假设最新降临的两个原子之间的弹性系数相同。弹簧是吸引力和排斥力的一个概念表述，如果位移足够小的话，可以假设弹簧式线性的。还有一个假设需要说明：作用于院子的力仅来自于最临近的原子^[13]。原子的运动方程可以写为

其中，是用偶数表示的质量为的原子的位移，是用偶数表示的质量为的原子的位移。求解过程中令和，求解得

则行列式等于零，得到，则

曲线就是色散关系，如图2.1所示。当时就形成了两个分支。对应于加号的上面一个分支是光学分支，对应于减号的下面一个分支是声学分支。

由图 2-1可知，色散曲线随周期性变化。第一声子色散关系以外的结果都只是重现了可以由第一布里渊区的色散曲线完全描述的晶格动力学。以上描述可以扩展到三维情况，这时候这些晶格振动存在横向和纵向情况，于是们对于每一个原胞中有两个原子的情况，声学和光学振动都有一个纵向和两个横向分支。其中需要注意的是，在曲线就是色散关系中，斜率就是声子群速度，也就是声子传播的速率，并能量传输的方向一致。根据波粒二象性，能量为的声子也具有一个相应的动量，即。

通常光学分支的声子群速度很小，因此，光学声子对于固体中的热传导的作用不大。另一方面，光学声子可以与声学声子互相作用的或者发生散射，特别是在高温时，会减少热传导。

声子传输的另一个重要方面是散射。声子的平均自由程比晶体尺寸相比较，往往较小。然而，对于纳米结构，平均自由程可能比特征尺寸长度大，从而导致边界散射的产生。

图 2-1声子色散关系

声子散射

声子散射控制着电介质材料和半导体材料的热传输特性。声子散射分为三类：声子—声子散射、杂质散射、边界散射。这些散射过程都将影响到声子的平均自由程。在温度接近德拜温度时，声子—声子散射占主导地位；随着温度的下降，声子的波长和缺陷大小相当时，经过缺陷的声子散射变得重要起来。杂质散射与温度无关，但依赖声子的波长。

当温度低于德拜温度，并且声子整体的平均自由程相当或大于特征尺寸时，如薄膜的厚度或热线的直径，边界散射变得重要。当身子的平均自由程很大时，边界散射对于纳米结构材料和低温条件下是非常重要的。

特征尺寸并不是完全意义上的介质的实际尺寸，它可以是热扩散深度，即用来衡量热量扩散强弱的热学量，对于周期性加热的热传导问题来说，热扩散深度与加热频率成反比，下文将给出简单证明。故加热频率过高时，热扩散深度将很小，当变得与声子整体平均自由程相当甚至更小时，声子将发生“边界散射”，由于电介质材料和半导体材料的热传输特性与声子紧密联系，所以此时材料的热导必将受到很大影响，由可以看出热导率将减小。本文将在不考虑声子—声子散射、杂质散射的前提下，仅从声子平均自由程和特征尺寸相比较的角度来进行探究。

傅里叶定律局限

从扩散方程的数学求解可以看出，傅里叶热传导定律的一个局限是介质中一个位置的热扰动会立即在任意其他位置产生响应。这就要求热传递是无限大的，然而，实际上热量的扩散在近室温条件下是一个缓慢的过程^[12]。

一维半无限的瞬态热传递过程可以进一步说明上述矛盾点。假设介质是均匀的，有着恒定的热物性，初始温度分布均匀，介质热扩散系数，其中、和分别是材料的导热系数、密度和比热容。的壁面在的时间内被恒定热流加热；在后，保持绝热。令过于温度，则微分方程、边界条件以及初值条件如下：

，

，

，；，

求解得到

其中，，函数，表示余误差函数，，上述求解过程参考Carslaw相关书籍^[14]。

将问题具体化，假设初始温度为室温的玻璃，玻璃热物性参数为恒定值，。一端表面热流为，持续5秒后保持绝热，受热面设为，另一面为，绘制不同时刻的温度分布曲线，见图 2-2。当时，加热停止，近表面的温度下降，但仍然是最高的，并且温度随着的增大而减小^[12]。

图 2-2 不同时刻的温度分布曲线

对于一个比较小的的温升，例如和，则所需要的时间为。在任意给定的位置出，平均扩散速度为。

实际上，扩散在接近室温条件下是一个很慢的过程。当，时，在范围内。当时，迅速减。在处，仅仅约为。另一方面，玻璃中的声子速度在的数量级，比平均热扩散速度大几个数量级。

由统计力学知识可知，分布函数允许一小部分的粒子具有很高的速度或者行进一个很长的距离而不发生碰撞，虽然这样的概率很低。但在实际情况下，同时给表面或者任意给定位置处提供温度脉冲，热扩散方程不会得到一个能量传播的无限速度，相反，它将是一个很慢的过程。在微观情况下，局部热平衡无法建立时，傅里叶定律无法成立。与此同时，平衡温度的概念也不能使用，因此在非平衡条件下建立和运用宏观和微观的热传输理论十分重要^[12]。

分布函数

声子的分布服从玻色—爱因斯坦分布，在基于弛豫时间假设的玻尔兹曼方程中涉及到分布函数，这里将对分布函数做简单介绍，并对玻色—爱因斯坦分布进行推导。并结合分布函数对三维热流进行推导，阐述玻尔兹曼方程对宏观和微观热输运现象解释的适用性。

经典的统计力学建立在给定的宏观体积内的物质都是无数离散的小例子组成的假设之上的，这些粒子进行着连续的随机运动，当粒子的能量相互独立并且总的能量等于各个粒子的能量之和时，那么这些粒子是相互独立的。对于一个体积为，由个同种独立粒子组成的系统，系统的总内能为，它是所有粒子能量的总和。各粒子可能具有不同的能量。这就涉及到量子力学能级等概念：能级是离散的，相邻能级之间的能量增量是有限的，并且每个能级的例子是无法区别的^[12]。

不同类型粒子的特征可以由不同的统计方法来描述。根据粒子可不可分，每个能级上的粒子数目有没有限制可以将统计方法分为三类：麦克斯韦-玻尔兹曼统计、玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。光子和声子都服从玻色-爱因斯坦统计，这里我们着重论述玻色-爱因斯坦统计。

玻色-爱因斯坦统计：粒子是不可区分的，并且每个量子态的粒子数目是没有限制的：第个能级有个量子态，则将个不可区分的粒子放到个可区分的状态下，总共有种情况，则对所有的粒子而言，总的热力学概率为：。其中粒子总数为，那么，可以得到总内能，和表示常数。

根据拉格朗日求极值方法可得：,所以上式可以变为

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