基于Mathematica实现共线方程自动线性化解算

论文总字数：20111字

目 录

1 绪论 1

1.1 论文的研究目的 1

1.2 论文研究的国内外现状 1

1.3 论文研究的意义 1

1.4 论文研究的技术路线 2

2 共线方程线性化方法 2

2.1 泰勒级数展开法 3

2.2 四元数构造旋转矩阵法 4

2.3 线性化矩阵模型法 5

2.4 共线方程的第二种形式法 6

3 基于Mathematica软件的线性化方法 8

3.1 Mathematica软件简述 8

3.1.1 Mathematica软件的发展 8

3.1.2 Mathematica软件的功能及特点 8

3.1.3 Mathematica软件的操作 8

3.2 基于Mathematica软件的线性化方法 11

4 实验分析 12

4.1 数据分析 12

4.2 基于泰勒级数法的线性化数据处理 14

4.3 基于四元数法的线性化数据处理 15

4.4 基于Mathematica软件的线性化数据处理 16

4.5 结果分析 17

5 总结 18

参考文献 19

致谢 20

附录 21

基于Mathematica实现共线方程自动线性化解算

石钰玲

,China

Abstract:In the field of photogrammetry, many important formulas need to be linearized before being applied, such as collinear equations. Because the traditional linearization method is complex to calculate, the partial derivatives obtained are too much, which takes a long time, and the calculation process is prone to errors, which leads to the interruption of the linearization process. This paper uses the method based on Mathematica software to solve the collinear equations automatically and linearly, which reduces the complicated calculation in the process of linearization and has the characteristics of convenience, rapidity and more accuracy. This method can help people to master the data calculation skills of Mathematica software flexibly, improve its application in photogrammetry, and provide a feasible solution to the tedious linear calculation process of photogrammetry formulas.

Key words:Mathematica;Linearization;Collinear equation;Photogrammetry

1 绪论

1.1 论文的研究目的

摄影测量学中的许多公式，比如共面条件方程、共线方程、相对定向公式、绝对定向公式等，均属于非线性化的公式，在被应用之前都需要进行线性化处理。共线方程是进行摄影测量理论研究的基础，也是摄影测量学中最重要的公式之一，被广泛应用于单像空间后方交会、光束法双像摄影测量、数字影像的纠正等之中。在实际解算的过程中需要将共线方程线性化^[1]。常用的线性化处理方法包括泰勒公式法、矩阵模型法^[2]、四元数法，还有一些方法对共线方程的线性化进行一步一步的推算。虽然一步一步的推导有助于了解共线方程线性化一系列的原理，加强个人的计算能力，但是利用这些方法进行线性化处理时，计算繁琐，解算效率低，耗费大量的时间。为了解决这种繁琐的方式，本论文用一种基于Mathematica软件的方法来完成摄影测量公式中共线方程的自动线性化解算。

1.2 论文研究的国内外现状

Mathematica软件是一款计算功能十分强大的软件，是由美国一家公司Wolfram Research开发研制而成，广泛地应用于各行各业，如高数领域、工程领域、科学领域、文化领域等，其中还包含了像本论文进行线性化解算需要的各种命令函数的高精度的计算功能和基本的绘图功能^[3]。

在测绘领域，就目前来看，主要应用在大地测量、测量平差、地图投影三个方面^[4]。在Mathematica软件的运用领域中，有一个关于地理数据与计算的模块，涵盖地图制图、地理数据与实体、测量学方面的知识。而在摄影测量领域，还未看见有相应的报道和具体的应用。共线方程线性化是进行实例解算的重要前提，许多学者提出不同的方法来实现线性化。吴巍、魏富恒、高振东、李树准等人提出用四元数实现线性化^[5]；李长武、耿则勋提出将共线方程转换为另一种形式实现线性化^[6]；钟海云提出使用偏微分原理建立新的模型实现线性化。除此之外，还有其他方法均可实现线性化。但是，针对国内有些方法使用手动推导共线方程实现线性化的过程困难且耗费过多的现象，有学者提出不同的方法进行共线方程自动线性化解算，比如贲进、杨春宇等人提出利用Mathematica软件实现对共线方程的自动线性化解算，在其专业领域引起广泛的关注^[7-8]。

1.3 论文研究的意义

采用基于Mathematica软件实现共线方程自动线性化解算的方法，在一定程度上简化了线性化解算的过程，大大地提高了运算的速度和效率，极大地解决了学术研究的难题，更好地推动了其在摄影测量领域中的应用。

摄影测量共线方程应用广泛，在实例解算时，必须先对其线性化。而在线性化的过程中，共线方程解算复杂，过程繁琐，利用Mathematica软件能使线性化的过程变得方便、快捷，让人力渐渐地从传统的线性化推导方式中解放出来，从而不再拘泥于人工纸质推导，而是学会掌握用计算机语言实现摄影测量共线方程的自动线性化解算。这种方法的方便、快捷，有益于学习中的方方面面，尤其对于学生来说，掌握了一门数学运算技巧，让自己解题更加快速，理解更加深刻透彻。

1.4 论文研究的技术路线

通过查阅资料得知，对于实现摄影测量共线方程线性化解算有很多种方法。在此基础上，理清论文的写作思路：首先，了解目前常用的线性化方法以及它们各自的优缺点，同时研究本论文使用的线性化方法，对其计算原理初步了解；其次，学习操作Mathematica软件，熟练掌握其功能模块和工作原理，利用Mathematica软件实现共线方程的自动线性化解算；最后，将具体的研究实际应用到例子中，通过例子来论证使用本论文方法解算的优势。论文研究的具体技术路线流程图如下面的图一所示：

查阅文献资料

现状研究

线性化理论研究

算例研究

泰勒级数展开法

四元数法

论文方法

对比分析

图一 技术路线图

2 共线方程线性化方法

共线方程是摄影测量学中最重要的公式之一，是进行摄影测量理论研究的基础。在测绘专业领域，很多问题的解算都涉及到线性化这个重要的过程，比如测量平差。对于平差问题的相关计算，是建立在线性化之后的平差模型的基础上去研究的，没有线性化这个关键的过程，平差的解算就不能完成。共线方程是非线性化的方程，须线性化才能实际应用。在本论文中，将共线方程作为最具代表的摄影测量公式进行研究。

在摄影测量学中，共线方程也叫做中心投影构像方程式，它描述了像点、摄影中心与地面点位于一条直线上的关系^[9-10,19-22]。为了方便理解，画出中心投影成像原理图，如图二所示：

图二 中心投影成像原理图

在图二中，φ角是O_xS所在直线（又叫主光轴），在XZ坐标面内的投影与Z轴之间的夹角；ω角是主光轴与主光轴在XZ坐标面内的投影的夹角；к角是Y轴在像平面坐标系o-xy的投影与像平面坐标系y轴的夹角。

共线方程基本的表达形式为：

（1）

（2）

其中，（x_P,y_P）表示以像主点为原点的像点坐标，x_o、y_o、f表示相机的内方位元素，（X，Y，Z）表示像片相应的地面点坐标，（Xs,Ys,Zs）表示像片的外方位元素，此外还包含φ、ω、к在内的三个外方位角元素。a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3表示由三个外方位角元素φ、ω、к构成的三行三列旋转矩阵R中的元素。

共线方程广泛应用于摄影测量中的单像空间后方交会、光束法双像摄影测量、数字影像的纠正等方面。通过共线方程，能够求解像点的坐标和像片的外方位元素。但是，实际应用与求解的前提是，必须将共线方程进行线性化处理。

2.1 泰勒级数展开法

从（1）、（2）式可以看出，共线方程为非线性化的模型，为了计算方便，通常都要将共线方程用泰勒公式展开成线性化的形式，这个过程叫做共线方程线性化解算。

针对求解目标为外方位元素的情况，将（1）、（2）式方程改写为

（3）

（4）

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