时间序列模型的参数估计及其应用

论文总字数：26845字

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\begin{center}{\kaishu \zihao{2}{时间序列模型的参数估计及其应用}}\end{center}

\vskip 0.5cm

\begin{center}{\kaishu\zihao{4} 摘\ \ \ \ 要}

\end{center}　

\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要} {\kaishu \ \

本文对时间序列模型中较为常见的自回归滑动平均模型$Y_t=\beta_1Y_{t-1} \beta_2Y_{t-2} ... \beta_pY_{t-p} \varepsilon_t \alpha_1\varepsilon_{t-1} \alpha_2\varepsilon_{t-2} ... \alpha_q\varepsilon_{t-q} $ 的参数估计方法进行研究。考虑到多元t分布同时适用于厚尾和薄尾分布的良好性质，作者分别选取了服从多元t分布和高斯分布的白噪声序列，相应地以AR (1)和ARMA(1,1) 模型为例进行参数的极大似然估计，最终给出了基于多元t分布的AR (1)模型在已知自由度 $\gamma$ 情况下另两个参数$(\beta_1 ,\sigma^2) $的极大似然估计以及ARMA(1,1) 模型参数的极大似然函数。文章最后用模拟实验证明了该估计方法的有效性，并用上证综指进行了实证预测。

}

\vskip 1cm \noindent{\kaishu 关键词: \ 时间序列,\ 多元t分布, \

极大似然估计, \ 白噪声序列, \ 高斯分布 }

\newpage

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\begin{center}{\rm Maximum Likelihood Estimation of Time Series Model Parameters}\end{center}

\vskip 0.5cm

\begin{center}{\rm\zihao{4} Abstract}

\end{center}

\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}

\par

In this paper,we discuss about an autoregressive moving average model:\ $Y_t=\beta_1Y_{t-1} \beta_2Y_{t-2} ... \beta_pY_{t-p} \varepsilon_t \alpha_1\varepsilon_{t-1} \alpha_2\varepsilon_{t-2} ... \alpha_q\varepsilon_{t-q} $.\ First of all, maximum likelihood method is used to estimate parameters in models. Considering applications in financial area, we select white noise sequences that obey multivariate t-distribution and Gaussian distribution so both thick tail and thin tail cases can be matched. AR(1) and ARMA(1,1) models are taken as examples to give the maximum likelihood estimation and the maximum likelihood function of parameters respectively. At last a data simulation is carried out to make a prediction on Shanghai Composite Index .

\vskip 0.8cm \noindent{\rm Key Words:\ time series, \ multivariate t-distributions, \

maximum likelihood estimation, \ white noise sequences, \ Gaussian distributions}

\tableofcontents

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\newpage

\mainmatter

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%\scriptsize{\underline{\underline{\hspace{1cm}{\bf

%东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{0.5cm}{\bf 第一章 \qquad 引言}

% \hspace{1cm}}}}}

% {\protect \scriptsize{

% \underline{\underline{\hspace{1cm}{\bf 东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{7cm}{\songti

% 第一章 \qquad 引言 }\hspace{1.5cm}}}}}

\chapter{背景介绍}

\s0 \vskip 3mm

时间序列是按时间顺序排列的一列数据，时间序列分析则是数理统计的一个分支，利用历史数据来预测未来时刻的变化轨迹是其中的核心问题之一，这就需要我们对历史数据进行模型估计，即找出随机序列的变化规律。常用的时间序列模型有AR模型(Autoregressive model)、MA模型(Moving average model)、ARMA模型(Autoregressive and moving average model)和ARIMA模型(Autoregressive integrated moving average model) 等。在现今数据大爆炸的时代，金融、物流、医疗、贸易以及我们生活中的各行各业无不每时每刻生产着以时间为变量的数据，这便成为了统计学研究的对象。使用时间序列分析的例子有很多，它被用于估算道·琼斯工业平均指数的每日收盘价，以及广泛应用于信号处理，模式识别，金融数学，天气预报，工程控制等应用科学和工程方面的任何领域。通常情况下，研究者接收的数据集是描述被分析对象状态的参数序列样本(称为实验样本)，在此基础上建立反映参数关系的数学模型。本文主要研究的是金融时间序列在股票市场中的预测作用，依据股票的历史数据，例如开收盘价格，日成交量等，来预测未来该支股票的短期走势，以供投资者参考。

\begin{figure}

\begin{center}

\includegraphics[width=11cm,totalheight=5cm]{timeseries01.jpg}\\

\caption{对一个时间序列的可视化分析}

\end{center}

\end{figure}

国内外目前对金融时间序列预测的研究有很多。文献~$\cite{SLJ}$采用阻尼最小二乘法，结合了Newton 法与最速下降法；文献~$\cite{ZMJ}$使用径向基函数(RBF) 神经网络进行证券市场的预测；文献~$\cite{YG}$给出了一种简化的Elma网络，并将这种自反馈神经网络应用于股价等的预测。通过统计学的数理知识和先进的统计分析软件对金融时间序列的变化规律进行研究，是金融信息领域的热点问题。

本文的研究对象是时间序列模型中最为常见的ARMA(p,q)模型：

\begin{equation}

Y_t=\beta_1Y_{t-1} \beta_2Y_{t-2} ... \beta_pY_{t-p} \varepsilon_t \alpha_1\varepsilon_{t-1} \alpha_2\varepsilon_{t-2} ... \alpha_q\varepsilon_{t-q} ，t\in \textbf{Z} ,\label{eq1}

\end{equation}

其中$\{\varepsilon_t :t\in \textbf{Z}\}$为一期望为$\mu$ ，方差为$\sigma^2$的白噪声序列。通过服从ARMA模型的某一序列在连续n个时刻的观测值$Y_1,Y_2,...,Y_n$ 可以对模型中的未知参数$\beta_k,k=1,...,p$,$\alpha_i,i=1,...,q$,$\mu,\sigma^2$进行估计。目前在实际应用中更为常用的是矩估计和最小二乘估计，这两种估计方法操作起来相对简单，但是估计结果不够精确，想要得到更为精准的估计需要对ARMA 模型的分布做出假设从而做出极大似然估计。最常见的做法是假定模型中的白噪声序列服从高斯分布，即对任意正整数n 及$t_1,t_2,...,t_n\in \textbf{Z}$, 有$(\varepsilon_{t1},\varepsilon_{t2},...\varepsilon_{tn})' \sim N_n(\mu 1_n,\sigma^2I_n)$。

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