论文总字数：54602字
题 目 BAM神经网络的稳定性分析和hopf分岔
______数学学院_____院（系）_____统计学_____专业
学 号____________07315106____________
学生姓名______________张艺轩_____________
指导教师______________许文盈_____________
起止日期_______2019.1.1—2019.5.30_______
设计地点_____________数学学院____________
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\begin{center}{\kaishu \zihao{2}{\LARGE{BAM}~神经网络的稳定性分析和~\LARGE{Hopf}~分岔}}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\kaishu\zihao{4} 摘\ \ \ \ 要}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要} {\kaishu \ \
神经网络是近年来最热门的研究课题之一，并具有广泛的社会应用价值。早期关于神经网络的研究主要集中在整数阶神经网络，但是随后的研究发现，整数阶神经网络模型在很多情况下难以准确刻画实际问题。因此分数阶神经网络模型被提出，它能较准确地刻画实际系统的动态响应过程。同时研究发现，时滞无时无刻地发生在实际生产中。本文以整数阶具有时滞的简化~BAM~模型为基础，讨论分数阶的简化~BAM~神经网络模型和控制系统，在第二章讨论在分岔参数选为时滞的情况下，系统的稳定性和发生~Hopf~分岔的条件。研究发现，在特定条件下，当时滞之和超过临界值时，系统会失去稳定性并发生~Hopf~分岔。在实际生产中，希望分岔的发生是受控的，因此我们针对上述模型设计了线性控制器，以实现调节分岔发生点及扩大系统稳定区域的目的。同时时滞之和被选作分岔参数，通过分析系统的稳定性及分岔产生的条件，进而发现控制系数的大小会影响系统发生分岔时刻和系统稳定区域的大小，具体地说，分岔参数的增大会推迟分岔的发生，进而扩大系统稳定区域，这意味着文中所设计的线性控制器可有效地调节系统性能，即系统稳定性及分岔的发生点。本文用数据仿真说明了理论的真实性。}
\vskip 1cm \noindent{\kaishu 关键词: \ BAM~神经网络,\ 时滞, \
分数阶微积分, \ Hopf~分岔, \ 稳定性 }
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\begin{center}{\rm Stability Analysis and Hopf Bifurcation of Fractional BAM Neural Networks}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\rm\zihao{4} Abstract}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}
\par
Recently, neural network becomes one of hot research topics and has been widely applied in real world. Previous works focus on the investigation of integer-order neural networks, however, it is found that they could not accurately describe practical problems. Therefore, fractional-order neural networks are proposed, which could better describe the dynamic response of the actual system. At the same time, the study shows that time delay occurs always in practice. Based on the simplified integer-order BAM model with time delay, this paper discusses the stability and Hopf bifurcation of the simplified fractional-order BAM neural network model and control system. In the second chapter, the time delay is chosen as a bifurcation parameter, and then the stability and Hopf bifurcation of the system are discussed. The discussion finds that the system occurs Hopf bifurcation when the sum of lags exceeds the critical value under certain conditions. In practice, it is expected that the occurrence of bifurcation is controllable. Thus a linear control is added to the fractional-order model to adjust onset of bifurcation. In this model, the time delay is also chosen as bifurcation parameter. Based on the analysis of system stability and Hopf bifurcation, we find that the modification of the control parameter will affect the onset of Hopf bifurcation and stability region of systems. Specially, when the control parameter increases, the onset of the bifurcation will be delayed and the stability region of system will become large. This implies that the design control term can effectively adjust the onset of bifurcation and the stability region of fractional-order system. Finally, some numerical examples are provided to verify the theoretical analysis.
\vskip 0.8cm \noindent{\rm Key Words:\ BAM neural work, \ Time delay, \
Fractional calculus, \ Hopf bifurcations, \ Stability}
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%东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{0.5cm}{\bf 第一章 \qquad 引言}
% \hspace{1cm}}}}}
% {\protect \scriptsize{
% \underline{\underline{\hspace{1cm}{\bf 东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{7cm}{\songti
\chapter{介绍}
\section{研究背景}
\s0 \vskip 3mm
最近，由于~Hopfied~构建了一个简化的神经网络模型，人们越来越关注神经网络的动力学原理。 Marcus~和~Westervelt~认为延迟总是发生在信号传输中，并提出了一种带时滞的神经网络模型。此后人们建立了各种人工模型来描述带延迟的神经网络，之后研究人员提出了带时滞的双向联想记忆(~BAM~)神经网络。包含或者不包含延迟的双向相关存储器神经网络已经被广泛研究了，但大多数研究重点都放在了局部或全局稳定性上。在目前的研究进程中，大家对神经动力学系统的研究不仅局限于对于系统稳定性的讨论，还包括了对很多动力学行为的分析，例如周期现象、分岔和混沌。在带有时滞的动力学微分系统中，系统通过~Hopf~分岔产生了周期解，因此有大量文献分析了一些特殊神经网络的稳定性和分岔。在研究神经网络的初期，为了更简便的分析模型，大家都使用的整数阶的微分方程来分析系统的稳定性，因为整数阶微分方程也是分数阶微分方程的一种，是分数阶阶数取为~1~时的情况，所以可以认为整数阶是分数阶的特殊情形。但实际生产过程有很多的不确定性和不稳定性，所以不可能会出现这么完美的情况，整数阶微分方程并不能非常完美的描述实际生产中的动力学系统，或者说我们认为整数阶系统是极其理想化情形下的动力学系统。\par
整数阶微分方程的局限性体现在，它只能由函数的局部特性所定义，无法记录系统在开始到实时的全部数据，只能存储短时间内的行为，所以不能描述神经元的记忆特性和对过去行为的依赖性，所以整数阶导数只是描述了动力学行为的理想化状态。为了更精确描述系统的动态响应，我们引入了分数阶微积分，建立了带时滞的分数阶简化~BAM~神经网络模型。\par
近年来，人们对分数阶微分方程的研究大多集中在这几个方面，文献\cite{10}将分数阶导数与对偶拥塞系统结合，让对偶拥塞模型的实践性更强，分岔指标选定为时滞，分析了模型的稳定性与如何发生~Hopf~ 分岔，研究发现当函数与系统满足假设条件且时滞之和达到临界值时，系统在平衡点处发生~Hopf~ 分岔。文献\cite{1}\cite{5}分别给出了整数阶模型和分数阶模型，在分岔指标选定为时滞时，线性化系统的特征方程根的分布情况和存在一对共轭纯虚根的判断条件；文献\cite{11}给出了以增益参数为分岔参数，带时滞的三维及其高维整数阶神经网络模型中特征方程根的分布判断条件；文献\cite{7}给出了以连接权重为分岔参数，不带时滞的分数阶神经网络模型中特征方程根的分布判断条件。但这些文献要么仅考虑单个延迟，要么仅考虑两个神经元一维的神经网络。 在本文中，我们研究了带三个神经元和两个延迟的分数阶简化~BAM~神经网络的分岔特性。\par
延迟双向联想记忆神经网络由以下系统描述：
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{cc}\dot{x_i}\left(t\right)=-\mu_ix_i\left(t\right) \begin{matrix}\sum_{j=1}^mc_{ij}f_i\left(y_j\left(t-\tau_{ji}\right)\right)\end{matrix} I_i\\
\dot{y_j}\left(t\right)=-\mu_jy_j\left(t\right) \begin{matrix}\sum_{i=1}^nd_{ij}g_j\left(x_i\left(t-\nu_{ij}\right)\right)\end{matrix} I_j\end{array}\right..
\end{equation}
其中~$c_{ij}$,~$d_{ji} (i=1,2,...,n,~j=1,2,...,n)$~是通过神经元的连接权重。两层：~I~层和~J~层; $\mu_i$ ~和~$\mu_j$~分别描述了~I~层和~J~层上的内部神经元过程的稳定性。在~I~层，神经元状态由~x$_i(t)$~表示，通过激活函数~f$_i$~接收输入~I$_i$~和~J~层中那些神经元输出的输入，而在~J~层，接收相关状态的神经元由~y$_i(t)$~表示的，通过激活函数~g$_j$~接收输入~I$_j$~和由~I~层中的那些神经元输出的输入。虽然系统~(1)~可以在数学上被认为是具有维数~n m~的~Hopfied~型神经网络，但由于连接权重的特殊结构，它实际上产生了许多不错的特性，并且在存储配对模式或存储器方面具有实际应用。\par
为了简化，我们假设从~I~层到另一个~J~层的时间延迟是~$\tau_1$，而从~J~层返回到~I~层的时间延迟是~$\tau_2$，并且在该层中只有一个神经元。~I~层和~J~层中的两个神经元。系统~(1)~的这种特殊情况的体系结构如图~(1.1)~所示。
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