马尔科夫性的检验及其应用

论文总字数：35976字

摘 要

马尔可夫链理论，经常被运用于经济，信息，气象等各种领域。人们从经验出发，假设数据是满足马尔可夫性的，然后直接运用马尔可夫过程的理论去进行数据的分析。我们认为这种缺乏检验的假设是不合理的。因此，针对这种情况，我们介绍了两种非参数的检验方法，即似然比检验和皮尔逊卡方检验方法，并做了详细的推导。接下来，我们通过均值-标准差分类法对南京市1959-2008年的年降雨量数据进行分类，分为干旱，较干旱，正常，丰水四种状态。其次运用最大似然的方法求得南京市降雨量状态的概率转移矩阵。然后分别运用以上两种方法来检验该概率转移矩阵的马尔可夫性，两种方法都表明该矩阵具有马尔可夫性。最后我们以正则化的自相关系数为权重建立了模型对南京市降雨量进行预测，结果显示加权马尔可夫模型能很好地预测南京市降雨量的问题。

关键词：马尔可夫性，似然比检验，Pearson-χ2检验，南京降雨量，加权马尔可夫

Testings of The Markov Property and Application

07313131 tanguoxing

Qiaohuijie

ABSTRACT

The Markov chain theory is usually used in economic, information, weather prediction and other fields. According to experience, people take it for granted that the data makes up Markov process, and analyse the data by the Markov process theory directly. It is unreasonable to do such an assumption without testings. Therefore, we introduce two nonparametric testing methods, a likelihood ratio testing and Pearson χ2 testing, respectively, to solve the problem. And we deduce them in detail. Next, the yearly rainfall of Nanjing city from 1959 to 2008 is sorted into four classes, named by drought, little drought, a normal state and humidity, respectively, by a mean-standard deviation method. Thus, we use a maximum-likelihood method to estimate the transition probability matrix. And the Markov property of the matrix is tested by two methods mentioned above. Both results show that it satisfies the Markov property. At last, we build a weighted Markov model using regularized auto-correlation coefficients as a weight to predict the yearly rainfall state of Nanjing city. And the model predicts it correctly.

Keywords: Markov property, likelihood ratio test, Pearson-χ2 test, yearly rainfall of Nanjing, weighted Markov model

目 录

摘要 I

ABSTRACT II

第一章 引言 2

第二章 马尔可夫链的定义及其检验方法 3

2.1 马尔可夫链的相关定义 3

2.2马尔可夫性的检验步骤 4

第三章 南京市降雨量的状态分类及概率转移矩阵 10

3.1 均值-标准差法 11

3.2 状态转移矩阵 13

第四章 马尔可夫性质的检验 14

第五章 加权马尔可夫模型的预测 15

5.1 加权马尔可夫链 15

5.2 多步转移概率矩阵 15

5.3 各阶自相关系数 16

5.4 加权马尔可夫的权重确定 17

5.5 降雨量状态的预测 17

第六章 总结 19

参考文献： 20

致 谢 21

引言

20世纪早期，俄罗斯人安德烈∙马尔可夫发表了第一篇有关于马尔可夫过程的论文，标志着马尔可夫过程的诞生。在概率论和相关的领域中，马尔可夫过程是指满足马尔可夫性质的一类随机过程，简称马氏过程。通常说来，如果我们需要预测一个过程将来的情况，我们基于当前的情况和我们在了解过去所有的信息条件下得到的结果是一样的，那么该过程就具有马尔可夫性质。这也就是说，在知道现在的情况条件下，将来的情况和过去的情况是互不相关的，这样的过程是马尔可夫过程。马尔可夫过程分为连续时间马尔可夫过程和离散时间马尔可夫过程，其中赌徒毁灭模型是离散时间马氏过程的代表，连续时间马氏过程的代表是维纳过程和泊松过程。由于其良好的性质，马尔可夫过程被运用在各种领域，例如化学，信息和计算机科学，排队理论，互联网应用，经济和金融 ，基因科学等学科([1]-[6])。而马尔可夫链是指状态取值为有限集或者可列无限集的马氏过程。由于其具有的马尔可夫性使得人们能够预测将来的状态在只知道当前的状态的条件下。因此，不必再去收集以前的状态资料，这大量地减少了人们的工作，因此被广泛得应用。但是，一个随机过程是否符合马尔可夫性却被人们忽略，人们不加思考地假设马尔可夫性的存在，而不对该随机过程的马尔可夫性进行检验，这是不科学的。因此，本文给出了两种非参数的检验方法，分别是似然比检验和皮尔逊卡方检验方法。这两种方法的推导都依赖于大数定律，因此在数据量不足够大的时候并不能区分哪一种方法更加的合理。所以，检验时最好同时使用两种方法。最后我们运用南京市1959-2008年的年降雨量数据，通过上述两种方法进行验证其是否具有马氏性，并通过加权马尔可夫链的模型对其进行拟合和预测。

文章的结构安排如下，第二部分介绍了马氏链的相关定义，给出了最大似然法估计转移概率矩阵的方法，以及两种检验马氏性的非参数方法。第三部分介绍了均值-标准差方法，并运用此方法对南京市降雨量状态进行分类，并求出其状态转移矩阵。第四部分运用第二部分的方法对该状态转移矩阵进行马氏性检验，得到南京市降雨量过程符合马氏性的检验结果。第五部分介绍了加权马尔可夫链模型，我们以各阶自相关系数作为权重，对南京市2008年的降雨量状态进行预测，预测结果和实际情况相符，说明了该模型的适用性。

马尔可夫链的定义及其检验方法

2.1 马尔可夫链的相关定义

我们先定义随机过程X={X(t)，tϵT}，它表示一个随机变量的集合。这也就是说，对于每一个指数集合T中的t，X(t)都是一个随机变量。通常来讲，t表示的是一个时刻，X(t)就表示在t时刻的随机序列所处的状态。如果指数集T是一个离散的数集，我们就把X(t)叫做离散时间随机过程。如果T是连续的，我们就把它叫做连续时间随机过程。X(t)所有可能的取值的集合，我们把它叫做“状态空间”。这是关于随机过程的一些基本概念，这个模型在各种随机过程的书中，例如在[7]中被介绍的很详细。

如果我们有了系统当前所处的状态，那么这个系统在将来的状态与它过去的状态就是一种独立的关系。这种的性质就被人们称作马尔可夫性。具有马尔可夫性的随机过程被称作马尔可夫过程。而马尔可夫链是马尔可夫过程中应用最广泛的一种，它是指状态空间为离散数集的马氏过程。于是我们有如下定义：

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：35976字