稻飞虱种群模型的参数估计

论文总字数：5499字

摘 要

稻飞虱是水稻生长过程中的重要害虫，近些年来对水稻产量的影响逐年加重。本文利用水稻田间的调查资料和相关的文献资料，组建稻飞虱两参数威布尔模型。利用最小二乘法关于水平残差和垂直残差平方和最小二乘方法来进行参数估计以及提出两参数威布尔分布中参数的极大似然估计量的一种简单有效的迭代求解方法，将有利于理解和预测稻飞虱的种群动态。

关键词： 稻飞虱，威布尔分布，最小二乘法，极大似然估计

Abstract： Rice planthopper was a serious pest of rice crops, which resulted in field loss increasing year by year. By using the investigation data in rice field and related documents, two parameter Weibull model was set up. On the level of residual and vertical error square and minimum two methods to estimate the parameters by using the least square method and A iterative method for the maximum likelihood estimate of the two parameters in the two parameter Weibull distribution is presented ,which is simple and efficient. It was useful to understand and to predict the population dynamics.

Keywords： Rice planthopper，Weibull distribution， least square method ，maximum likelihood estimation

目 录

1 前言……………………………………………………………………… 4

2 稻飞虱模型……………………………………………………… 4

3 最小二乘法………………………………………………………… 6

3.1 水平残差平方和最小二乘估计…………………………………… 8

3.2 垂直残差平方和最小二乘估计…………………………… 9

4 极大似然估计……………………………………………… 10

结论 …………………………………………………………………………… 12

参考文献……………………………………………………………………13

致谢 …………………………………………………………………………… 14

1 前言

水稻是世界上最主要的三大粮食作物之一，播种面积占粮食播种面积的1/5，年产量约4.8亿吨，占世界粮食总产量的1/4，全世界二分之一以上的人口以水稻为主食，同时也是我国最主要的栽培作物之一。水稻的丰收与否关系到世界人口的粮食安全。然而稻飞虱却是水稻生长过程中的严重虫害威胁，它是目前我国水稻主要的迁飞性害虫。同时也是影响我国水稻稳产、高产的主要虫害之一。稻飞虱频繁爆发和再增猖獗的现象迫使人们考虑应如何建立起更加完善的综合治理体系。所以在虫害发生前进行可靠性的预测，有利于水稻产量的提高，降低治理虫害的费用，在一定程度上可以降低对化学防治方法的依赖。威布尔分布函数作为一种可靠性模型，可以用来研究稻飞虱的产卵量 ^[1]。本文运用最小二乘法和极大似然估计原理对稻飞虱生长模型的参数进行推导计算。

2 稻飞虱模型

在组建生命系统为特征的害虫种群预测模型过程中，种群的出生、存活和发育速率是三个最基本的生物学参数。黄建义，李汝铎，丁锦华^[1]等采用威布尔分布函数描述褐飞虱雌虫产卵量的时间序列分布和若虫进龄速度。威布尔分布函数表示为

(1)

为不同天数稻飞虱雌虫累计产卵百分率。为天数,并且由（1）可以得到威布尔分布的密度函数。

即

，

关于两参数威布尔分布模型的具体特性，见下图^[2]：

上图为威布尔分布的分布函数

上图为威布尔分布的密度函数

我们可以从威布尔分布函数的图象清晰地看出，分布函数的曲线呈单调递增现象，随着天数的累计增多，稻飞虱的雌虫累计产卵量也逐渐增多，但是随着时间的推移产卵量最终趋于不变。并且当尺度参数一定时，形状参数的不同取值就会使得威布尔分布模型获得不同的曲线形状，它们之间呈现很大的区别。所以本文将采用最小二乘法和极大似然估计法对两参数威布尔分布的参数进行推导和计算。

1. 最小二乘法

最小二乘法，又被称为最小平方法，是一种数学优化技术。它可以通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。也就是可以用一条线来拟合一组离散的数据，它的公式表达式为

.

当总偏差为

,

最小时，来估计参数，的方法^[3]。

两参数威布尔的累积分布函数为

对（1）式两边进行变换后得

,

令

,

且

,

那么有

(2)

稻飞虱分布函数经过变换为公式（2），满足最小二乘法的回归方程。

令

则

，

为使

最小

令

把这组关于的线性方程组加以整理得

求此方程组的解，即可得的稳定点为

为进一步确定该点是极小值点，通过计算可得

,

所以可知在点取得极小值，这个极小值为数值的最小值，此时参数的值为

且

.

• 1. 水平残差平方和最小二乘估计

关于的最小二乘法，是以为自变量、为因变量的函数。

形状、尺度参数计算公式为

则水平残差平方和为

（3）

令

，，

则

.

• 1. 垂直残差平方和最小二乘法

关于的最小二乘法，是以为自变量，为因变量的函数。

形状、尺度参数计算公式为

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