切贝晓夫不等式及其应用

论文总字数：5073字

摘 要

关键词：切贝晓夫不等式，大数定律，中心极限定理

Abstract: Chebyshev inequality is an important part of probability theory. It can not only be used for theoretical proof, but also for estimating the probability of random variables. It has been widely used in various fields. This article first introduces Chebyshev inequality and its proof method, then introduces the application of Chebyshev inequality.

Key words: Chebyshev inequality ,law of large numbers,central limit theorem

目录

1.引言 1

2.切贝晓夫不等式 2

2.1切贝晓夫不等式的证明 2

2.2切贝晓夫不等式的推广 3

3.切贝晓夫不等式的应用 4

3.1 完善大数定律 4

3.2 解决不等式问题 5

3.3切贝晓夫不等式在误差以及估值方面的应用 6

结论 9

参考文献 10

致谢 11

1.引言

概率不等式是概率论研究中的必不可少的研究工具,也是近代数学的重要组成部分,许多著名的概率不等式都推进了概率统计定理的证明.其中,切贝晓夫不等式^[1-2]描述随机变量的变化情况,在概率论中具有重要的理论研究和实际应用价值.

切贝晓夫不等式^[3]是以俄罗斯数学家帕夫努蒂·切贝晓夫命名的,尽管它最初是由他的朋友和同事构想出来的,后来在1867年由切贝晓夫证明的,他的学生安德烈·马尔科夫在他的1884年博士论文中提供了另一个证明.切贝晓夫从概率论这门学科还比较冷门的时候就开始研究它,其一生对概率论有着卓越的贡献.

本文我们主要是对切贝晓夫不等式进行进一步的讨论和研究,并介绍关于切贝晓夫不等式的广泛应用.

下面我们将介绍一下本文所要用到的有关知识.

林德伯格-莱维（ Lindeberg -Levy）中心极限定理^[4]

设{}是独立同分布的随机变量序列,且,存在,若记,

则对任意实数y,有

.

切贝晓夫不等式 ^[5]

设随机变量的数学期望和方差都存在,则对任意常数,有

, （1）

或

1-. （2）

2.切贝晓夫不等式

2.1切贝晓夫不等式的证明

证 明 这里我们只证明(1),同理可证（2）.

①设是一个连续型随机变量,其概率密度函数为,

,.

=

.

由此可知不等式(1)在变量为连续型随机变量时成立.

②设是一个离散型随机变量,其分布列为=（i=1,2,3...）则

.

由此可知不等式(1)在变量为离散型随机变量时成立.

切贝晓夫不等式以量化的形式给出了随机变量和的离散程度.若方差越小,则越大,随机变量的取值在数学期望附近的密集程度越高.在概率论中,事件称为大偏差,其概率称为大偏差发生概率.

2.2切贝晓夫不等式的推广

切贝晓夫不等式除了我们上面所证明的概率形式还有两种形式,一个是有限形式,还有一个是积分形式.它的有限形式主要被用来解决代数不等式问题,在代数不等式证明方面有很重要的应用,而它的积分形式是微积分中几个重要不等式之一.

定理1^[6]（有限形式）若和,且满足,或者,,则 . （3）

若满足,或者,,则

. （4）

当且仅当或时,不等式中等号成立.

证明 这里我们只证明（4），同理可证（3).

设，为不同次序的序列，则可得

，

，

，

......

.

将个式子相加可得

.

将不等式两边同时除以，可得

.

例1 设且,求证.

证明 由于,

.

故.

例2 设是个非负实数,且,求的最大值.

解 设,则

.

由定理（1）可得

.

故

.

所以最大值为.

当,,时,等号成立.

3.切贝晓夫不等式的应用

3.1 完善大数定律

切贝晓夫大数定律^[7] 设为相互独立的随机变量序列,若每个的方差存在,具有共同的上界,即 则服从大数定律,即对于任意的,有

.

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