论文总字数：3259字

摘 要

：在数列极限的计算中，有一些形式复杂的数列在计算极限时十分困难，使用概率方法能使数列极限的计算更加简单.本文阐述了概率论方法在数列极限计算中的应用，分别使用中心极限定理、强大数定律、母函数定理求解数列极限，并一一例举实例进行验证.

关键词：数列极限、中心极限定理、强大数定律、母函数

Abstract：In the calculation of sequence limit, some complex sequences are very difficult to calculate the limit, and the probability method can make the calculation more simple. This paper analyzes the application of probability theory to the sequence limit evaluation. And the central limit theorem, the strong law of large numbers and the theorem of generating function are used to solve the sequence limit questions respectively, and examples are given to verify them.

Keywords: sequence limit, central limit theorem, strong law of large numbers, generating function

目 录

目 录 3

1 前言 4

2 利用中心极限定理计算数列极限 5

3 利用大数定律计算数列极限 8

4 利用母函数计算数列极限 10

结论 11

参考文献 12

致谢 13

1 前言

自20世纪以来，概率论的发展非常迅速，概率统计极限理论是其主要分支之一，而且是概率统计知识应用与其他分支的重要支撑点.在数列极限的计算中，有些形式的数列极限的计算是十分困难的.把概率论知识加入到极限问题的求取中能使得求取更加容易、巧妙.近年来有很多学者利用概率论方法求解数列极限，如文献[^[1]]、[^[2]]、[^[3]].文章将通过实际例子，说明概率方法在求解数列极限中的应用，体现了数学不同学科之间的联系，体现了概率统计理论应用的广泛性[^[4]].

文中涉及的相关定理及定义如下：

定理1[^[5]](林德博格-莱维中心极限定理)的期望为，方差为存在

,

，有

.

定理2[⁶](切比雪夫大数定律)设，，，即，i=1,2，…，

gt;0，有

.

定理3[⁷] (柯尔莫哥洛夫强大数定律)设随机变量序列，且，则

.

定理4[⁸] (勒贝格控制收敛定理)设为随机变量序列，，Y可积，

且,则.

定义1[⁹]设X是非负整数值随机变量，若其分布列为

，，，，

则称

为X的母函数.

2 利用中心极限定理求解数列极限

例1 ： .

证明 设{｝，()服从参数的泊松分布

则其期望，方差，故{｝满足林德博格-莱维中心极限定理

因此

即

另一方面，由泊松分布的可加性知，服从参数为的泊松分布，因此

所以

.

例2求解极限，.

解：令，设{｝是独立同分布随机变量序列，()服从参数的泊松分布，则其期望为，方差为，故{｝满足林德博格-莱维中心极限定理

从而

由泊松分布的可加性知，服从参数为的泊松分布

从而

当时，

当时，对于，存在实数R使得,对于上述的,，，当时有，

从而

，

故

当时，对于，使得，对于上述的，,,当时有，

从而

即

例3求证： .

证明 设{｝为独立同分布的随机变量序列，()服从自由度为1的分布，期望为，方差为，故{｝满足林德博格-莱维中心极限定理的条件，因此

即

由分布的可加性知，，其概率密度函数为

，xgt;0

从而有

令x=2nt

则

因此

.

利用大数定律求解数列极限

例4证明：qgt;pgt;0时，.

证明 设，()，则，，…，，，，….且

,

，

，

，

故满足，

，

：

，

，

又由于，，故，因此，所以随机变量序列，因此有

，

又

因此

.

利用母函数求解数列极限

例5 若，若，求证：

.

证明 设随机变量X服从负二项分布，，

，，，...，[10]，的泊松分布，，，，，...，其，

如果要证明，.

由于，因此

从而

即

因此，当时，有

.

结 论

纵观全文，本文归纳总结了数列极限的几种概率论解法，分别使用中心极限定理、大数定律、强大数定律、母函数理论计算数列极限，使用这些方法可以让某些数列极限的计算更加简便、直观.运用概率论解决数列极限的方法灵活多样，我们需要通过分析实际题目中的具体情况，然后去选择正确的方法，这需要我们在学习的过程中不断的进行探究.

参考文献

[1] 张双德.概率方法在求证数列极限中的应用[J].临沂师专学报，1992，(4):4

[2] 修明.概率方法在数列极限计算中的应用[J].南平师专学报,2007，26(4):13-14.

[3] 柳长青.母函数在数列极限中的应用[J].广西民族学院学报.2001,7(14):22-25.

[4] 毕力格图，常桂花.概率论在极限问题中的应用[J].白城师范学院学报,2006，20(4):52.

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