韦布尔分布的参数估计

论文总字数：5470字

摘 要

威布尔分布是可靠性系统与分析的分布之一，且在可靠性系统与分析中有着非常重要的地位，但因为威布尔分布的分布函数和密度函数形式非常复杂，所以参数估计比较困难。不但影响了威布尔分布的实际应用，而且学校也没有把其列入教学范围内，使得非一定专业内的学生无从得知此分布。本文主要研究了威布尔分布的几种参数估计，如区间估计，最大似然估计等。

关键词：威布尔分布，最大似然估计，区间估计

Abstract：Weibull distribution is one of the distribution in reliability system and its analysis. It plays a significant role in reliability theory. Because of the complexity of Weibull density function, it is very difficult to estimate the parameters of this distribution. It affect the practical application of the Weibull distribution, and the educational programs do not included it, such that many students have relatively little understanding of Weibull distribution.This paper mainly discusses several parameters estimation of Weibull distribution, such as interval estimation, maximum likelihood estimation.

Key word: Weibull distribution, the maximum likelihood estimation, interval estimation

目录

1 引言…………………………………………………………4

2 预备知识……………………………………………………4

2.1威布尔分部的定义……………………………………………4

2.2相关性质………………………………………………………5

3 参数估计………………………………………………………7

3.1 最大似然估计…………………………………………………7

3.2 区间估计………………………………………………………8

3.3 混合截尾实验下威布尔分布的最大似然估计………………10

结论…………………………………………………………………12

参考文献……………………………………………………………13

致谢…………………………………………………………………14

1 引言

威布尔分布，又称威伯分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。并且威布尔分布是随机变量分布之一。威布尔分布(Ⅲ型 极值分布)记为。

威布尔分布是在1939年由瑞典物理学家威布尔为描述材料的疲劳强度而提出的。威布尔从30年代开始研究轴承寿命，以后又研究结构强度和疲劳等问题。他采用了“链式”模型来解释结构强度和寿命问题。这个模型假设一个结构是由若干小元件(设为个)串联而成，于是可以形象地将结构看成是由个环构成的一条链条，其强度(或寿命)取决于最薄弱环的强度(或寿命)。单个链的强度(或寿命)为一随机变量，设各环强度(或寿命)相互独立，分布相同，则求链强度(或寿命)的概率分布就变成求极小值分布问题，由此给出威布尔分布函数。由于零件或结构的疲劳强度(或寿命)也应取决于其最弱环的强度(或寿命)，也应能用威布尔分布描述。此后威布分布在可靠性分析中有着广泛的应用，许多类型的产品在涉及寿命问题时都提倡用威布尔分布给出模型的一系列实际描述和应用。如威布尔分布在林业方面的研究和产品寿命的研究，再比如患某种疾病人员的有效存活时间等，用威布尔分布都能很好地描述。

2威布尔分布的定义和性质

2.1威布尔分布的定义

定义1如果随机变量的分布函数为

则称随机变量服从威布尔分布，其中朋，，叫形状参数，叫刻度参数。这是两参数的威布尔分布，常记。

定义2如果随机变量的分布函数为

则称随机变量服从威布尔分布，其中，，叫形状参数，叫刻度参数，叫位置参数。这是三参数的威布尔分布。

由威布尔分布定义1知两参数威布尔分布的密度函数为

2.2 威布尔分布的性质

2.2.1威布尔分布的期望和方差

先看的阶矩，由密度函数式知

作变量替换

于是

其中是函数，

上式说明了服从威布尔分布的随机变量的七阶矩与函数的直接关系，因此可以用函数研究威布尔分布的性质。那么有

=

2.2.2极值分布

定义若随机变量的分布函数为

则称随机变量服从极值分布，这里参数常记

作量替换

则的分布函数为

它是， 的极值分布，称为标准极值分布。

另外，若

这里是欧拉常数。

2.2.3威布尔分布的定理

定理1设，则

证明 即是指数分布(当时威布尔分布是指数分布)，因此对任何有

即

注：定理1说明任何威布尔分布可以通过指数分布的变换得到。

定理2设是相互独立且同分布的，共同分布是

对任何有

即

这说明服从威布尔分布，形状参数是，刻度参数是。

注：定理2是可靠性理论中的有名的夭折试验。

定理3设，则服从极值分布，其中参数

对任何，有

注：定理3说明极值分布是在威布尔分布中当得出，这也是威布尔分布的极值分布参数间的关系，为用极值分布研究威布尔分布打下良好的基础。

定理4设，令，则

对任何，有

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5470字