一类分数阶HIV病毒动力学模型研究

论文总字数：26225字

摘 要

本文研究了一类带有CTL免疫响应的分数阶HIV动力学模型。首先参考已有的整数阶的模型，建立分数阶HIV模型。然后给出阈值参数和，利用分数阶拉萨尔不变原理，通过寻找合适的李雅普诺夫函数来分析各个平衡点的全局稳定性。当时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当时，CTL未激活染病平衡点是全局渐近稳定的；当时，CTL激活染病平衡点是全局渐近稳定的。接着本文研究了分数阶传染病模型的最优控制问题。最后列出了一系列的数值模拟用以证明结论。

关键词：HIV病毒动力学模型；CTL免疫响应；李雅普诺夫函数；全局稳定性；分数阶拉萨尔不变原理；分数阶最优控制问题。

Abstract

In this paper, an HIV-1 infection model with CTL immune response is investigated. Firstly, the fractional HIV-1 model was established on the basis of the integer model. Then, the threshold parameter R is given. By using suitable Lyapunov functions and fractional-order LaSalle’s invariance principle, we can analyze the stability of equilibrium. When, the infection-free equilibrium is globally asymptotical stable. When, the CTL-inactivated infection equilibrium is globally asymptotical stable. The CTL-activated equilibrium is globally asymptotical stable if. Next, we study the fractional optimal control problem (FOCP) of the fractional epidemic model. Finally, the numerical simulation is listed to verify conclusions.

Key words: HIV dynamic model; CTL immune response; Lyapunov function; Global asymptotic stability; Fractional-order LaSalle’s invariance principle; Fractional optimal control problem (FOCP).

目录

摘要 i

Abstract ii

目录 iii

第一章 绪论 1

第二章 预备知识 4

第三章 一类分数阶HIV病毒动力学模型 10

第四章 分数阶最优控制问题 19

第五章 数值模拟及讨论 21

第六章 总结与展望 25

致谢 26

附录 27

参考文献 39

第一章 绪论

1.1研究背景及意义

自从二十世纪八十年代以来，数学家为了分析病毒生物动力学问题，建立了许多数学模型。A.S.Perelson较早提出了对人类免疫缺陷病毒（Human Immunodeficiency Virus，可简写为HIV）传染病的研究。HIV病毒主要攻击宿主体内的免疫的CD4 T细胞。长期感染HIV病毒会使宿主体内的CD4 T细胞源逐渐耗尽，致使宿主体内的免疫应答系统对HIV病毒的随机感染不断妥协，最终导致感染者爆发艾滋病。所以在观测宿主体被HIV病毒感染过程时，免疫CD4 T细胞的数量是一个重要指标，动态分析HIV感染的CD4 T细胞模型就因此显得尤为重要。^[[1]]

免疫响应是人体感染病毒后用于抑制、控制、消灭病毒不可忽略的因素，当病原体入侵时人体会本能地产生免疫响应，免疫响应主要分为抗体免疫响应和CTL (Cytotoxic T Lymphocytes)免疫响应，许多研究资料表明，CTL通过作用于病毒感染细胞而在抗病毒防御机制中起重要作用，能直接杀死感染细胞，是限制病毒在体内复制的主要宿主免疫因子。因此考虑具有CTL免疫响应的模型更具有实际意义。

机体内的免疫系统从被抗原（病毒）刺激到产生免疫细胞是需要花费一些时间的，也就是所谓的免疫时滞现象。随着分数阶微分方程的发展，分数阶的模型更具有实际意义，能够对生物系统进行更为深入细致的研究。更重要的是，分数阶微分方程可以自然地涉及到具有记忆的系统，而记忆恰恰又是免疫响应的重要特征。因此将分数阶微分方程引入HIV的建模与分析中，是有益处并且值得尝试的。

分数阶微积分是经典的整数阶微积分的扩展，分数阶微积分理论建立至今已有300多年的历史。自从导数被定义开始，几乎同时人们也开始认真思索分数阶导数，然而直到最近，分数阶导数的概念才被逐步建立起来。近30年来，这一领域取得了重要进展，分数阶导数现在几乎已经可以被运用到科学、工程、纯数学、应用数学、经济学的各个方面。^[[2]]

分数阶微积分，指的是微分或积分的阶次可以是任意的，或者更准确地说，是分数的，它扩展了人们所熟知的整数阶微积分的描述能力。利用分数阶微积分的数学模型，可以 在很多方面更准确地描述实际系统的动态响应。分数阶微积分的数学模型，可以提高对于动态系统的设计、表征和控制的能力。分数阶微积分不仅为工程系统提供了新的数学工具，还为复杂、成比例的动态系统提供了更完善的数学模型。

现实世界中的动态系统大部分都是分数阶的，用分数阶数学模型来刻画动态系统要比整数阶数学模型更加精确。长久以来，由于缺少恰当的数学方法，分数微积分的研究停留在理论阶段，在实际工程上的应用较少，尤其是大多系统都采用整数阶方程逼近的方法，用整数阶方程代替分数阶方程进行控制，但是这样的结果容易导致描述的精确度相对较低，不能准确地反应系统的性能。[2]

1.2研究现状

最近，数学家们建立了很多数学模型，来描述HIV-1型病毒的感染情况。通过研究这一些模型，研究人员发现在病毒传染过程中，利用免疫响应来消除或者控制疾病是普遍而且必要的。[^[3]]

黎梅新、叶海平等对一类带有治愈率的分数阶微分方程模型的正解的存在性和唯一性、平衡点及其稳定性进行了分析，采用的是Caputo分数阶导数。得出两个平衡点之后，研究出一个关键的阈值变量，当，无病平衡点稳定而染病平衡点不存在；当时，无病平衡点变得不稳定，而染病平衡点存在，于是把定义为该模型的基本再生数。而对于染病平衡点的稳定性，若，且满足分数阶Routh-Hurwitz判据，则该分数阶模型的染病平衡点都是局部渐近稳定的。[^[4]]

Nowak和Bangham考虑了一类含有CTL免疫响应的HIV-1传染病模型^[5^]，用如下的微分方程表示：

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