论文总字数：27781字
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\begin{center}{\kaishu \zihao{2}{求解二维分数阶边值问题的高效数值方法}}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\kaishu\zihao{4} 摘\ \ \ \ 要}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要} {\kaishu \ \
本文研究二维分数阶边值问题的有限差分方法。利用方程解析解的奇异性信息和外推方法针对加权位移Gr$\ddot{u}$nwald 公式（WSGD）提出了主奇性校正算法。对于空间分数阶发展方程，我们通过Crank-Nicolson格式进行时间离散，在每一个时间层上获得二维分数阶边值问题，然后再应用所提出的外推算法进行求解。数值算例表明在解析解不光滑的条件下，该算法可以有效地对问题进行求解，并获得比原WSGD格式更好的精度和收敛阶。}
\vskip 1cm \noindent{\kaishu 关键词: \ 分数阶微分方程,\ 非光滑解, \
高维问题, \ 外推方法 }
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\begin{center}{\rm An efficient numerical method for solving 2D fractional boundary value problems}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\rm\zihao{4} Abstract}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}
\par
In this paper we study finite difference schemes for solving the two-dimensional fractional boundary value problems.Using the singularity information of analytical solution and extrapolation method,we present leading singularity correction algorithm for the weighted shifted $Gr\ddot{u}nwald$ difference(WSGD) scheme.For spatial fractional evolution equation,we discrete it by Crank-Nicolson format.Then,we could get two-dimensional fractional boundary value problem for every time and solve it by our extrapolation method mentioned.Numerical examples show that the algorithm can effectively solve the problem and obtain better precision and convergence order than the original WSGD format when the analytical solution is not smooth.
\vskip 0.8cm \noindent{\rm Key Words:\ fractional differential equations, \ non-smooth solution, \
high dimensional problem, \ extrapolation method}
\tableofcontents
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\mainmatter
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%\scriptsize{\underline{\underline{\hspace{1cm}{\bf
%东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{0.5cm}{\bf 第一章 \qquad 引言}
% \hspace{1cm}}}}}
% {\protect \scriptsize{
% \underline{\underline{\hspace{1cm}{\bf 东~南~大~学~毕~业~ 设~ 计~报~告}\hspace{7cm}{\songti
% 第一章 \qquad 引言 }\hspace{1.5cm}}}}}
\chapter{引言}
\s0 \vskip 3mm
近几十年来，反常扩散问题在生产生活中有着广泛的应用，如地下环境问题，多孔材料中的流体流动问题，生物学中的异常运输问题等。空间分数阶扩散方程(SpFDEs)可以提供大量准确的超扩散过程描述。扩散方程是应用最多的偏微分方程（PDEs）之一，其应用可以在许多领域找到，包括生物学，化学，物理学，金融学等。解决方程的弱奇性问题一直是分数阶偏微分方程领域研究的重要问题之一。
随着SpFDEs在模拟超扩散问题中的应用越来越多，如何获得其高效的数值求解方法已引起相当大的关注。文献中已经提到了大量的数值方法，其中的有限差分法是最流行和最有效的方法之一。一个对于Riemann-Liouville 分数阶导数的位移的Gr$\ddot{u}$nwald 公式首先在\cite{CC1}中提出，并用于求解空间分数阶微分方程，该格式具有一阶精度且是无条件稳定的。基于这项工作，一些求解SpFDEs的高阶有限差分格式陆续被提出，例如二阶外推方法
\cite{CC14}，一类加权移位的Gr$\ddot{u}$nwald 公式\cite{CC2,CC3}。然而，上述方法中，他们的收敛速度都是在解的高正则性要求下得到。虽然这种假设对于具有整数阶的常规偏微分方程是自然成立的，但是在实际应用中对于分数阶微分方程（FDEs）来说，它太理想化了。事实上，分数阶导数是用弱奇异核来定义的，FDEs的解继承了弱奇异性。即使是光滑的数据也无法确保解的光滑性\cite{CC4,CC5}。此外，上述高阶格式要求解及其一阶甚至更高阶导数在边界处为0。 在求解边界附近无高正则性和边界处无零导数的FDEs时，基于这些理想假设的格式实际上会导致非常低精度的数值解。
对于时间分数阶初值问题，解的弱奇点通常存在于原点，为了获得一致高阶精度的数值解，几种处理弱奇点的方法已经被提出了。网格（非均匀网格）在初始时间附近保持小的误差，或者使用非多项式基函数来描述正确的奇点幂次\cite{CC13}，或者添加矫正项项来弥补损失的精度等\cite{CC6,CC7}。 对于空间分数阶边值问题或初边值问题，解在一维情况下通常在边界附近或两侧的端点处具有弱奇点。
本文的主要工作是利用Crank-Nicholson 格式将已有的一维的非光滑的分数阶边值问题解决方案扩展到二维的非光滑的分数阶边值问题，并且考虑时间依赖因素。为了处理奇点使得到的数值解达到一个比较高的收敛阶，我们首先将所考虑问题的解u 分为常规/平滑部分$u^r$ 和奇异/非光滑部分$\xi^su^s$，其中$\xi^s$ 是奇异部分的系数。然后我们利用外推方法和后验误差校正技术逼近$\xi^s$ 并恢复数值解的高阶精度。
与非均匀网格上的有限差分格式相比，该算法保持了有限差分格式的类似Toeplitz 结构，允许低存储和快速算法的使用\cite{CC8,CC9}是其一个显著的特征。尽管所提出的算法将导致额外的成本，但是存储和计算成本的增加是可接受的。 数值算例表明，利用改进的WSGD，可以得到比不使用该算法的相应的原始方法更精确的数值解。即使解的规律性未知，即解的“奇异部分”是由FDE 的基本分析和一些猜想给出的，我们仍然可以获得满意的精度。
本文的其余部分安排如下。 在第二部分中，我们介绍一些必要前期的理论铺垫，介绍了WSGD方法和对于弱奇性项形式的推导。在第三部分中，我们采用外推方法和后验误差估计的方法来提出主奇性矫正的算法。在第四部分中，我们给出了一些用所提出算法求解具有非光滑解的分数阶边值问题的数值例子来说明算法的有效性。最后，我们给出了一些总结性的评论。
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%东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{0.5cm}{\bf 第二章 \qquad 阈值$u$确定方法的讨论}\hspace{2.5cm}}}}}{\protect \scriptsize{
% \underline{\underline{\hspace{0.5cm}{\bf 东~南~大~学~毕~业~ 设~计~报~告}\hspace{4cm}{\songti
%第二章 \qquad 阈值$u$确定方法的讨论 }\hspace{2cm}}}}}
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\chapter{基本理论}
\section{WSGD算法}
本文考虑如下的二维空间分数阶偏微分方程：
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