论文总字数：24160字

摘 要

本文利用外推方法，提出了一种基于有限差分格式的求解具有非光滑解的半线性分数阶边值问题的有效算法。本文的主要研究对象是具有单边分数阶导数和具有双边不对称分数阶导数的半线性空间分数阶微分方程。为了保证对于非光滑问题的求解精度，我们没有对方程中的非线性项进行显式化处理，而是利用简单迭代法求解差分方程。对于上述问题，我们基于文献中已有的加权移位Grunwald差分（WSGD）格式，提出了改进的加权移位Grunwald差分格式（I-WSGD）。基于原问题精确解的奇异性，特别是利用文献中对于双边不对称空间分数阶导数算子给方程解带了的奇异性分析，我们给出了对于相应的半线性问题的有效校正格式。实验表明，I-WSGD格式可以比原始WSGD格式获得更高的精度和更快的收敛速度。本文分别给出了具有单边分数阶导数和双边不对称分数阶导数的数值算例，数值实验结果显示对于具有单边分数阶导数的问题，文中提出的改进算法可以显著提高数值解的精度，并且达到二阶收敛。对于双边不对称分数阶导数的问题，提出的改进算法可以显著提高数值解的精度和收敛速度。

关键词：分数阶微分方程，非光滑解，外推法，非线性，双边不对称空间分数阶导数

Abstract

In this paper, an efficient algorithm for solving semi-linear fractional boundary value problems with non-smooth solutions is presented by using the extrapolation method. The main research object of this paper is a semi-linear fractional differential equation with one-sided fractional derivative and two-sided asymmetric fractional derivatives. In order to ensure the accuracy of the solution for non-smooth problems, we do not explicitize the nonlinear terms in the equations, but use simple repetitive process to solve the difference equations. We propose an improved weighted shift Grunwald difference scheme (I-WSGD) based on the weighted shift Grunwald difference scheme (WSGD) which is presented in the references. Based on the singularity of the exact solution of the original problem, and in particular the use of the singularity analysis in the literature for the two-sided asymmetric space fractional derivative operators, I present an effective correction scheme for the the semi-linear problem. It is shown that the I-WSGD scheme can achieve higher accuracy and convergence rate than the original WSGD scheme. In this paper, numerical examples are given for one-sided fractional derivatives and two-sided asymmetric fractional derivatives. Numerical examples show that the improved algorithm proposed in this paper can significantly improve the accuracy of numerical solutions for problems with one-sided fractional derivatives, and can achieve second-order convergence. As for the problem of two-sided asymmetric fractional derivatives, the proposed improved algorithm can significantly improve the accuracy and convergence rate of the numerical solution.

KEY WORDS: Fractional diffusion equations, Weak singularity, Extrapolation technique, Nonlinearity, Two-sided asymmetry space fractional derivatives

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 引言 1

第二章 本文考虑的问题 4

2.1 基本介绍 4

2.2 符号与性质 4

第三章 差分格式的推导和分析 6

3.1 差分格式的推导 6

3.2 差分格式的分析 7

第四章 改进算法 9

4.1 迭代计算 9

4.2 解的表示 9

4.3 后验误差修正方法 10

第五章 数值算例 14

第六章 结论 20

致谢 21

参考文献 22

引言

本文将提出一种求解具有非光滑解的半线性空间分数阶扩散方程的改进数值算法。

分数阶导数几乎和整数阶导数一样古老。近来，分数阶导数大多被运用在物理、金融和水文学问题中。分数阶空间导数被用于模拟反常扩散或弥散，即粒子流速与传统布朗运动空间不一致的情况。近几十年来，反常扩散被广泛应用于复杂系统中的传输动力学研究中，如地下环境问题[7]、多孔材料中的流体流动[1]、生物学中的反常输运[8]等。空间分数阶微分方程可对超扩散过程提供足够准确的描述[2][13]。随着空间分数阶微分方程在模拟超扩散问题中的应用越来越广泛，如何获得精确的数值解已经引起了人们的广泛关注。虽然一些具有特殊形式的分数阶微分方程，例如线性方程，可以通过解析的方法来求解，例如傅立叶变换法或拉普拉斯变换法，但许多广义的分数阶微分方程（例如非线性的分数阶微分方程和多项分数阶微分方程）的解析解是很难获得的。这鼓励我们开发有效的数值方法来求解这些分数阶微分方程。迄今为止，人们已经在求解分数阶微分方程的有限差分方法方面取得了丰硕的成果，有限差分法是也最流行和最有力的数值方法之一。在[12]中首次提出了Riemann-Liouville分数阶导数的平移Grunwald公式，建立了在有限域Llt;rlt;R上求分数阶对流-扩散方程数值解的基本理论。该方法具有一阶精度，可以得到无条件稳定的格式。在此基础上，人们提出了空间分数阶微分方程的高阶有限差分格式，例如，文献[16]中Tadjeran, C., Meerschaert, M.M.和Scheffler, H.提出了在有限域上求解变系数初边值条件分数阶扩散方程的一种二阶外推方法，基于经典的Crank–Nicholson法结合空间外推方法，得到时间和空间二阶精确的数值估计。并且证明了该方法的稳定性、相容性性和收敛性。结果表明：该方法对于基于平移Grunwald公式和分数阶Crank–Nicholson格式的差分解是无条件稳定的，并用数值实验进行了验证。文献[17]提出了一类加权平移的Grunwald公式，可以有效的应用于求解一维与二维空间分数阶扩散方程。该文献从理论上建立了常系数空间分数维扩散方程差分格式的稳定性和收敛性。通过数值算例验证了数值格式的有效性，并证明了收敛阶，给出了变系数问题的数值结果。文献[21]研究了有限域上一类变系数分数阶初边值微分方程的实用数值方法。研究了在偏微分方程中可能存在左空间分数阶导数和右空间分数阶导数的情况。讨论了方法的稳定性、一致性和收敛性。分数阶偏微分方程的稳定性（和收敛性）将经典抛物型方程和双曲型情形的相应条件统一为了一个条件。文中还给出了利用有限差分法求解双边分数阶偏微分方程的数值例子，并与精确解析解进行了比较。文献[3]中Celik, C.和Duman, M.提出了二维分数阶中心差分格式来求解Riesz分数阶微分方程。除了有限差分方法，还有一些其他的数值方法，例如有限元方法，谱方法，矩阵方法等。

在上述关于有限差分方法的研究中，收敛阶都是在解的高正则性要求下获得的。虽然对于具有整数阶导数的正则偏微分方程，这个假设是容易实现的的，但在分数阶微分方程的应用中，它过于理想化。事实上，分数阶导数是由弱奇异算子定义的，而分数阶微分方程的解继承了这种弱奇异性。即使平滑的数据也不能保证解的光滑性[4][9][11][15]。此外，上述算法保证获得理想的高精度，假设了解及其一阶或甚至高阶导数在边界处的值为零。当分数阶微分方程的解在边界附近既无高正则性，又不存在值零的导数时，基于这些理想假设的方案得出的数值解的精度将会非常低。

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：24160字