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摘 要

本课题利用布朗运动的正交多项式展开求解二阶随机微分方程，用Wong-Zakai近似的方法模拟二阶随机微分方程中的白噪声，将原方程转化为带有随机参数的确定性方程，再利用求解确定性方程的高效数值方法，如改进欧拉法等进行求解。通过数值模拟验证数值方法的有效性和收敛阶，并将所建立的数值方法与传统的利用随机Taylor展开式的方法建立的数值求解公式进行比较，其中包括欧拉法，Heun法，蛙跳法和隐式中点法，给出算法的计算量、收敛阶等对比结果。本课题的研究结果将从数值计算的角度通过比较两类不同算法的运算时间，精度，强弱收敛阶和使用随机数的个数，对比两种算法的优势，适用范围和计算效率，尝试提出高效的求解二阶随机微分方程的数值方法。

关键词：白噪声，Wong-Zakai近似，改进欧拉法，强收敛，弱收敛，二阶随机微分方程

Abstract

Complete Orthogonal System is used to approximate the Brownian motion to solve the second-order stochastic differential equations. By simulating the white noise in the second-order stochastic differential equation with the Wong – Zakai approximation, the original equation is converted into the deterministic equation with the stochastic parameter, and then the efficient numerical methods are used to solve the deterministic equation, such as improved Euler method, etc. Through numerical simulation, the validity of the numerical method and the order of convergence can be verified. Furthermore, a comparison is made between the established numerical methods with the traditional method obtained by stochastic Taylor expansion, which is used to establish the numerical formulas, including Euler method, Heun method, leapfrog method and implicit midpoint method. From the perspective of numerical calculation, the research results of this project compares the operation time, precision, strong and weak convergence order and the number of random numbers used by two different types of algorithms. By comparing the advantages of the two algorithms, the applicable scope and the computational efficiency, this project tries to put forward an efficient numerical method to solve the second-order stochastic differential equation.

Key words: white noise , Wong-Zakai approximation, improved Euler methed,

strong convergence, weak convergence, second order stochastic differential equation

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

第二章 求解一阶随机微分方程 1

2.1 微分方程数值解法概述 2

2.1.1问题及基本假设 2

2.1.2离散化方法 2

2.2 布朗运动 2

2.3 三种数值格式 3

2.3.1 Euler公式 3

2.3.2 Leapfrog公式 4

2.3.3 Milstein公式 4

2.4 数值收敛格式 4

2.4.1 强收敛 4

2.4.2 弱收敛 5

2.5 数值计算结果 6

第三章 求解二阶随机微分方程的传统算法 8

3.1 四种数值格式 8

3.1.1 Euler公式 8

3.1.2 Leapfrog公式 8

3.1.3 Heun公式 8

3.1.4 Midpoint公式 8

3.2 数值收敛格式 9

3.3 数值计算结果 9

第四章 求解二阶随机微分方程的新算法 16

4.1 Wong-Zakai近似 16

4.2 数值计算结果 17

4.2.1 强收敛 17

4.2.2 弱收敛 20

4.2.3 改进欧拉公式 23

结论 25

致谢 26

参考文献 27

绪论

随机微分方程（SDEs）模型在生物学、化学、流行病学、力学、微电子学、经济学、金融学等一系列应用领域中发挥着重要作用。大多数随机微分方程的精确解无法获得，或者精确解的形式非常复杂。相比于从SDEs理论出发，以现代概率论和随机过程作为工具，去研究SDEs解的性质，从而获得所模拟系统的信息和规律, 随机微分方程的数值求解是高效的解决实际问题的方法。 同时，通过数值解的信息，也可获得SDEs精确解的行为，为SDEs的基本理论研究提供了一种简单易行且有效的辅助方法。

文章中我们将主要研究具有初值的二阶随机微分方程

(1-1)

其中 为随机项，也称为白噪声项, 为初值。

在传统的求解二阶随机微分方程的过程中，我们需要化二阶方程为一阶方程组

(1-2)

然后用采用不同的数值方法进行求解。因此在第二章中，我们将首先简单地介绍关于一阶随机微分方程

(1-3)

的三种求解格式及强弱收敛性的算法。在第三章中，我们介绍四种基于随机Taylor公式求解二阶随机微分方程的数值格式及强弱收敛性。在第四章中，我们将介绍一种新的算法，即将（1-1）式中的白噪声项 采用Wong-Zakai的方法进行近似，将原方程转化为带有随机参数的确定性方程，再使用确定性方程的高效数值方法进行求解。在第五章中，我们将通过比较相同条件下两类不同算法的运算时间，精度，强弱收敛阶，和使用

随机数的个数，对比两种算法的优势，适用范围和计算效率，尝试提出高效的求解二阶

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