间断边界吸收系数成像的交替迭代算法

论文总字数：22796字

摘 要

热传导模型在实际生活中有着大量的应用，例如在温度分布、污染扩散、医学成像领域中等等。热传导方程中的边界Robin系数体现了导体表面材料上的热性特征，因此在一些热工程应用（例如淬火过程，核反应安全分析和航天飞机热保护）中Robin系数的反演问题变得十分重要和实用。然而Robin系数的准确值很难在实验过程中测量获得。因此，如何通过可测量区域的温度相关信息来反演边界的Robin系数，进而实现工程应用中性能监测要求，引起了工程领域和学术领域的大量研究。

在本文中，我们主要研究了带边界Robin系数的一维热传导方程的反问题，由可测量的左边界上带噪声的观测数据来反演无法直接测量的右边界上的热传导系数。重建方法采用的是优化的方法，采用了TV正则项和观测数据保真项来构造目标范函。数值算法中， 结合Bregman迭代法具有快速收敛，并且对正则化参数的选取不敏感的特性，构造了Bregman交替迭代法来反演Robin系数的方法。文章最后给出的数值结果也很好地支持了算法。

关键词：热传导问题，反问题，最小二乘，Bregman迭代

Abstract

There are lots of applications where the heat conduction theory plays an essential part, for example, in heat conduction, pollution diffusion, medical imaging and so on. The Robin coefficient in the heat conduction problem can reflect the heat properties of the material on the boundary, so it is very important to identify its value in some engineer applications. However, the accurate Robin coefficient value can be very hard to be measured some times, thus, people try to estimate the Robin coefficient indirectly by some information which we can measure from accessible boundary.

In this paper, we mainly study the inverse problem of heat conduction equation in one dimensional space, and the main work is to estimate the Robin coefficient on the inaccessible boundary using the measured data with noise from accessible boundary. We introduce the TV term in the cost functional, which is solved by the Bregman iteration method, which can result in a quick convergence. Lastly, the numerical examples presented support the algorithm greatly.

KEY WORDS: inverse problem, gradient descent method, Bregman iterative method

目 录

摘要 I

第一章 引言 1

1.1问题背景 1

1.2已有工作 1

1.3本文主要工作 2

第二章 最小二乘求解方案 3

2.1 Frechet导数 5

2.2数值迭代方案 7

2.3 最小二乘反演结果 10

第三章 Bregman迭代求解方案 17

3.1求解优化方案 17

3.2 数值迭代方案 18

3.3反问题算例 19

参考文献.......................................................25

致谢...........................................................26

1. 引言
   1. 问题背景

热传导方程在实际生活着有着十分广泛的应用背景，例如在物理、化学、医学领域等等都有着强烈的实际背景，热传导方程中的Robin系数体现了导体表面材料上的热性特征，也能够反映边界附近的物理过程例如腐蚀过程。因此，在一些热工程应用（例如在淬火过程，核反应的安全分析和航天飞机的热保护）中Robin系数的反演问题十分重要和实用。同样在一些非介入评估过程（例如腐蚀检测以及使金属与硅之间接触的部分成像）中Robin系数的反演问题也很重要。

由于Robin系数的准确值很难在实验过程中测量获得。因此，如何通过可测量区域的温度相关信息，来反演边界的Robin系数，进而实现工程应用中性能检测要求，引起了工程领域和学术领域的研究浪潮。在应用中我们更关心导体表面材料上的热性特征是否发生突变，此时对应的Robin系数就是时间的间断函数，对这样一类具有实际意义的模型，反问题的有效重建是需要加以研究的重要问题。

如很多典型的参数估计问题一样，Robin系数反演问题也存在着不适定性，因为数据中的噪声通常会给估计结果带来很大的误差。因此人们经常采用一些方法例如正则化方法来解决这种病态性。我们通过添加TV正则化罚项，来构造稳定的优化目标泛函，由此优化来重建热传导方程的边界Robin系数。

1.2已有工作

Robin反问题已经成为近年来一项重要研究内容。 在具体的研究中，由待确定的未知阻尼系数到观测数据的映射起着关键的作用。这个映射的可微性和可逆性，以及逆映射的有界性等，对反问题的数值求解起着核心的作用。关于反演Robin系数的数值方法，已经有了一些相关的研究，特别是在二维空间的热传导模型问题。

因为这个问题涉及的未知量是在区域边界上，所以通常会使用边界积分方程去解决这个问题。此外，边界积分方程对应的离散系统的未知数的个数远远小于相应的偏微分方程定解问题离散系统未知数的个数，因此边界积分方程方法在计算上更有利。Chen和Wu[6]提出，原问题可以转化为光滑区域上的边界积分方程，提出了一个基于非线性最小二乘法的重建方法。Lin[3]引入了一个新的变量代替Robin系数将原问题化为了直接的线性问题，并提出了基于最小二乘的数值方法来反演Robin系数。文章最后还展示了数据实验，验证了这些算法的有效性。Sun和Jiao[2]分析了拉普拉斯方程中带有稀疏结构的Robin参数的反演问题。原问题转化成带有L2正则项的最优控制问题，还应用了带权的最小二乘牛顿迭代法去求解最优控制问题，并且建立了迭代算法的收敛性。文章结尾还展示了二维问题的数值结果来说明算法的有效性。Jin和Lu[1]研究了热传导方程下随时空变化的Robin系数的反演问题的一种正则化方法，通过分析研究了参数到状态的映射性质，还给出了该映射的可微性结果，并且采用了有限元方法去离散连续优化问题，当网格步长与时间步长趋于0时有限元的估计也收敛。最后给出了用共轭梯度法求解一维和二维问题的数值结果。

对于热传导问题的反问题，传统的方法是通过流场的参数数据来进行最小二乘曲线拟合，但是这很大程度上地限制了热传导在实际中的应用范围，该方法只能对暴露在流体中的材料表面上的Robin系数仅仅为一个值的情况进行建模。Su[4]寻求一种依据内部测量或边界测量去估计分散式的Robin系数的方法。 Chen和Wu[6]进一步考虑了利用边界测量去重建Robin系数的情况。Oleg[7]分析了一种工程上的方法－函数序列法，该方法已经有了广泛的应用，然而该方法对噪声的容忍度较小。

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