非线性方程（组）数值算法及比较

论文总字数：8920字

摘 要

数值算法是一种研究解决数学问题的方法, 它的研究对象是在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题. 本文讨论了非线性方程的数值解法, 包括非线性方程的二分法、迭代法(不动点迭代法, 牛顿迭代法）及弦截法. 此外还分析了迭代法的收敛条件, 通过实例验证了非线性方程数值解法的有效性.

关键词：非线性方程, 数值分析, 二分法, 牛顿法, 简单迭代法, 弦截法.

Abstract：Numerical algorithm is a efficient method to solve the mathematical problem. The research objects are those mathematical problem which can be solved theoretically. In this paper, we investigate some numerical methods for the nonlinear equation, including dichotomy, iterative methods(fix-point method and Newton method), and secant method. In addition, the convergence condition of the iterative method is also analyzed. The validity of numerical methods for solving nonlinear equation is tested by numerical examples.

Key words: Nonlinear equation, Numerical analysis, Dichotomy, Newton method, Fixed-Point method, Secant method.

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目 录

1 引言 ………………………………………………………………………3

2 二分法 ………………………………………………………………………3

2.1 原理 ……………………………………………………………………3 2.2 二分法求根的方法 ………………………………………………………3

2.3 二分法的优缺点……………………………………………………………4

3 不动点迭代法…………………………………………………………………4

3.1 不动点迭代法 ……………………………………………………………4

3.2 不动点迭代的几何意义 …………………………………………………5

3.3 不动点迭代法的收敛条件 ………………………………………………6

4 牛顿法 ………………………………………………………………………6
4.1 牛顿法 ……………………………………………………………………6

4.2 原理 ………………………………………………………………………6

4.3 几何意义 …………………………………………………………………7

4.4 牛顿法的优缺点……………………………………………………………7

5 弦截法 ………………………………………………………………………8

5.1 弦截法 ……………………………………………………………………8

5.2 弦截法的几何解释 ………………………………………………………8

5.3 弦截法的收敛定理 ………………………………………………………9

5.4 弦截法的优缺点……………………………………………………………9

6 数值实验 ……………………………………………………………………10

结论 ……………………………………………………………………………11

参考文献 ………………………………………………………………………12致谢 ……………………………………………………………………………13

附录：四种数值方法的例题及MATLAB程序 …………………………………14

1 引言

非线性是实际问题中经常出现的, 并且在科学与工程计算中的地位越来越重要, 很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的, 为了得到更符合实际的解答, 往往需要直接研究非线性模型, 从而产生非线性科学, 它是21世纪科学技术发展的重要支柱^[1]. 非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程, 也有有限维的. 但要用计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解. 从线性到非线性是一个质的变化, 方程的性质有本质的不同, 求解方法也有很大差别^[1].

与线性问题相比, 非线性问题中存在的非线性项使得问题变得较为复杂, 往往很难求得该类问题的精确接. 因此, 非常有必要通过数值逼近的方法求得问题的近似解. 一个可以采用的技巧是讲非线性问题局部线性化, 从而将线性方程求解的技巧用到该类问题的研究. 这个思想非常简单, 但是这种技巧所得数值方法收敛性较慢, 因而有必要总结、研究如何提高收敛性的方法.

求方程几何意义：如果函数在上连续, 且, 则至少有一个数使得, 若同时的一阶导数在内存在且保持定号, 即（或), 则这样的在内唯一（如图1）.

图1

2 二分法

2.1 原理

 通过每次把的零点所在的小区间收缩一半的方法, 使区间的两个端点逐步迫近函数的零点, 以求得零点的近似值, 这种方法叫做二分法^[2]. 二分法的原理就是逐步将区间分半, 通过判别区间端点函数值的符号, 进一步搜索有根区间, 将有根区间缩小到充分小, 从而求出满足给定精度的根的近似值.

2.2 二分法求根的方法

首先确定有限区间：依据零点定理. 设, 且, 则方程 在区间上至少有一个根. 如果在上恒正或恒负, 则此根唯一.

然后用二分法(将区间对平分)计算根的近似值.令

.

若, 则 为有根区间, 否则为有根区间. 记新的有根区间为, 则, 且

.

对重复上述做法得, 且

.

每次二分后, 设取有根区间的中点

作为根的近似值, 则在二分过程中可以获得一个近似根的序列

,

该序列必以根为极限, 即

.

2.4 二分法的优缺点

二分法要求函数在区间[a, b]上连续, 且在区间两端点函数值符号相反, 二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现. 但是, 若方程在区间上根多于1个时, 也只能求出其中的一个根. 另外, 若方程在区间有重根时, 也未必满足. 而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值.

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