函数逼近的若干方法

论文总字数：6421字

摘 要

函数逼近是数值分析课程中一个重要的组成部分，涉及到的基本问题就是函数的近似表示．而用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定，在该函数中用作近似表示的函数确定方式仍然是各式各样，所以表达时产生的误差也有不同．本文将对三次样条插值、泰勒多项式、最小二乘法以及最佳平方逼近几种不同的函数逼近的方法做简单的研究．

关键词：函数逼近，三次样条插值，泰勒多项式，最小二乘法，最佳平方逼近

Abstract：Function approximation is an important part of numerical analysis course，involving the basic problem of the approximative representation of functions．The function class to approximate the known function can be differently chosen． However，even if the function is selected，the way to determine the function approximation is still various，leading to a different expression difference．This paper introduces different methods of function approximations， including the Taylor polynomial，cubic spline Interpolation，the least square method and the best square approach．

Keywords：functional approximation，cubic spline Interpolation，Taylor polynomial，the least square method，the best square approach

目 录

1 前言…………………………………………………………………………………………………4

2 三次样条插值函数逼近………………………………………………………………………4

2.1 基本概念………………………………………………………………………………………4

2.2 推导过程………………………………………………………………………………………5

3 泰勒多项式逼近…………………………………………………………………………………6

3.1 基本概念………………………………………………………………………………………6

3.2 泰勒多项式在函数逼近中的应用……………………………………………………7

4 最小二乘法逼近…………………………………………………………………………………8

4.1 基本概念………………………………………………………………………………………8

4.2 最小二乘法在曲线拟合中的应用……………………………………………………8

5 最佳平方逼近……………………………………………………………………………………9

5.1 基本概念………………………………………………………………………………………9

5.2 最佳平方逼近的应用……………………………………………………………………11

结论………………………………………………………………………………………………………12

参考文献………………………………………………………………………………………………13

致谢………………………………………………………………………………………………………14

1 前言

在数学的理论研究以及实际应用中经常会遇到下类问题：在选定的一个函数类中寻找一个函数，使它成为已知函数在一定意义下的近似表示，并给出用近似表示而产生的误差，这类问题就是函数逼近问题．

函数逼近论历史悠久，随着时间的流逝，函数逼近论不断发展已经成为一个既富有深刻理论内容、又有着巨大应用价值的数学分支．在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定了，在该类函数中用作的近似表示的函数的确定方式仍然是各式各样的，对的近似程度也可以有各种不同的含义．现在几种常用的函数逼近方法有，插值法、最小二乘法、最佳平方逼近等，每种方法都有自己的特点，在不同领域都有着广泛的应用．

本文我们将介绍几种函数逼近的方法．插值法是用以确定逼近函数的一种常见方法．所谓插值就是要在逼近函数类中找一个，使它在一些预先指定的点上和有相同的值，或者更一般地要求和在这些指定点上某阶导数都有相同的值．最小二乘法是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小．

本文将综合介绍几种函数逼近的方法的基本概念、计算方法，最后结合实例，进行分析研究，得出结论．

2 三次样条插值函数逼近

2.1 基本概念

在科学实验中，所做的插值曲线既要简单，也要在曲线的连接处比较光滑，即所做的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而且在节点上连续并且存在连续的低阶导数，我们将满足以上条件的函数称之为样条插值函数．样条插值函数所对应的曲线称为样条曲线，样条插值函数的节点称为样点，这种插值方法称为样条插值．三次样条插值具有良好的收敛性和稳定性，在理论和应用上都有重要意义．因此，三次样条插值是样条插值的典型代表．

若函数，并且在每个区间上是三次多项式，其中，则称是节点上的三次样条函数．若在节点上给定函数值，并且成立，则称为三次样条插值函数．设为：．其中待定，并要使它满足：

　　

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　

以上四个公式共给出个条件，需要待定个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个边界条件．通常由实际问题对三次样条插值在端点的状态给出要求．常用的边界条件有以下3种类型．

第1种边界条件：已知端点处的一阶导数值，．

第2种边界条件：已知端点处的二阶导数值，．

特殊情况：称为自然边界条件．

第3种边界条件是周期性条件，如果是以为周期的函数，

于是在端点处满足条件．

2.2 推导过程

以第1种边界条件为例，利用节点处二阶导数来表示三次样条插值函数，给出具体的推导过程．注意到在上是三次多项式，于是在上是线性函数，则的表达式为：

对两次积分并利用和可求出积分常数，得到三次样条表达式：

这里是未知的，为了确定，对求一次导数：

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