线性方程组的数值解法

论文总字数：9908字

摘 要

关键词：线性方程组，高斯消去法，三角分解法

Abstract：This paper introduces two kinds of directly solving linear equations numerical solution, There are Gauss elimination method and triangular matrix decomposition method.The main ideas, the specific solution and its characteristics are described in this paper,and the relevant numerical examples and analysis are given in this paper.

Keywords：Linear equations, Gauss elimination method, triangular matrix decomposition method

目 录

1 引言 ………………………………………………………………………………… 4

2 高斯消去法 ………………………………………………………………… 4

2.1 高斯消去法 ………………………………………………………………… 4

2.2 列主元消去法 ……………………………………………………………… 6

2.3 数值实例 ……………………………………………………………………… 7

3 矩阵三角分解法 ……………………………………………………………… 9

3.1 直接三角分解法 …………………………………………………………… 9

3.2 平方根法 ……………………………………………………………………… 11

3.3 追赶法 ……………………………………………………………………… 12

3.4 数值实例 ……………………………………………………………………… 13

结论 ………………………………………………………………………………… 18

参考文献…………………………………………………………………………… 19

致谢 ………………………………………………………………………………… 20

1 引言

线性方程组的数值解法在数值分析课程中占有很重要的分量，其方法主要有两种，一是直接解法，二是迭代解法．本文将给出两类直接方法，然后对其主要思想、具体解法及它们各自的特点进行探讨，并给出数值实例及其分析来促进对线性方程组数值解法的理解．

2 高斯消去法

2. 1 高斯顺序消去法

2. 1. 1 高斯顺序消去法的基本思想

设有线性方程组

(1)

或写成矩阵形式

．

简记为．

把原线性方程组的系数矩阵和右端常数项组成的增广矩阵进行初等行变换化成上三角矩阵从而转化为求解简单方程组的问题．

2. 1. 2 高斯顺序消去法的具体解法

将方程组(1)记为，其中，，．

第一步，

．

其中，乘数，这时，而其它系数和右端有　

重复上述过程，有　

第步，设上述第步消元过程计算已经完成，即已计算好与(1)等价的方程组　

．

简记为，若：其中，乘数，这时，，由有其它系数和右端有与元素的计算公式　

，

继续上述过程，最后得到，当时

． (2)

方程组(1)到(2)为消元过程．

如果是非奇异矩阵，且，求解(2)得到求解公式　

(3)

方程组(1)到(3)为回代过程．

综上可得　

　　定理1 设，其中．

　　1) 如果，则可通过高斯消去法将约化为等价的三角形方程组(2)，且计算公式为　

　　　　a) 消元计算

　　　　b) 回代计算

　　2) 如果为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组约化为(2)．

　　定理2 高斯消去法能进行到底的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为零．

2. 2 列主元消去法

2. 2. 1 列主元消去法的主要思想

列主元消去法的主要思想和高斯顺序消去法的主要思想差不多，在高斯顺序消去法的消元过程中可能出现主元素等于0的情况，这时后续过程将无法进行．

对一般矩阵来说，消元过程中的每一步都选取系数矩阵中绝对值最大的元素作为主元素然后再进行计算．

以下我们假定是非奇异的．

2. 2. 2 列主元消去法的具体解法

设　

，

为方程组(1)的增广矩阵．

首先在的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如　

，

然后对的第一行与第行进行交换，经第一次消元计算得．

重复上述过程,假设已经完成第步的选主元素,交换两行及消元计算，约化为　

．

　　第步选主元素(在右下角方阵的第一列内选)，即确定，使

，

交换第行与列的元素，再进行消元计算,最后将原方程组化为

，

回代求解得

2. 3 数值实例

　　为了更好地掌握高斯消去法和列主元消去法，以下各给出了一个例子．

2. 3. 1 高斯顺序消元法

例1 用顺序消去法解线性方程组

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