周期切换下Logistic映射Lyapunov指数计算方法

论文总字数：5267字

摘 要

:一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，但其具有极其复杂的动力学行为。本论文建立了周期切换模式下的Logistic电路模型，根据单个一维离散系统的Lyapunov指数的计算方法来研究两个Logistic映射在时间切换下Lyapunov指数的计算方法，并给出了计算Lyapunov指数的Fortran程序，同时结合该系统的分岔图及相应的相图验证了结论的正确性。

关键词: Logistic映射；离散切换系统；Lyapunov指数；周期轨道；混沌吸引子

Abstract:As a simplest chaotic map, one dimensional Logistic map has very complicated dynamical behaviors. In this paper, the Logistic circuit with periodic switching scheme is established. Based on the numerical method of the Lyapunov exponent of one-dimensional discrete system,the method of the Lyapunov exponent of the switched system defined by two Logistic maps is discussed and the associated programs are compiled on Fortran 95. Meanwhile, upon the bifurcation diagram and the phase diagram, the conclusion is verified.

Keywords:Logistic map; discrete switched systems; Lyapunov index; periodic orbit;chaotic attractor

目 录

1 引言 4

2.预备知识 4

3.模型建立与Lyapunov指数计算方法 5

3.1模型的建立 5

3.2计算方法 6

4.Fortran程序实现及验证 7

4.1 Fortran程序实现 7

4.2 分岔图以及相轨道验证 8

结论 11

参考文献 12

致谢 13

1. 引言

非线性科学是一门研究非线性现象共性的学科，他是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科。对于非线性科学的大量显示系统大多是用非线性数学模型来描述，而非线性是产生混沌运动、各种分支现象等复杂动力学行为的必要条件。

判断混沌的常用数值（理论）方法如下：1.是通过观察时间序列图或相图，周期运动对应着封闭的曲线，而混沌对应着在一有限区域内随机分布的轨迹^[1]；2.通过观察分支图，分支图是通向混沌的一条重要途径，通过分支图的观察可得到对混沌的判断^[2]；3.通过计算 Lyapunov指数谱（Lyapunov Exponents)，Lyapunov指数刻画相空间中两条相邻的轨道之间距离的平均敛散程度，最大Lyapunov指数常用来刻画非线性动力系统是否存在混沌运动^[3]；4.还可以通过功率谱^[4]，分形维数^[5]，测度熵^[6]等来判断混沌吸引子。

本文根据Logistic电路模型^[7]得到了周期切换模式下的Logistic映射数学模型，详细介绍了其Lyapunov指数的计算方法，并给出了Fortran计算程序，同时结合相应的分岔图相图验证了所得到的Lyapunov指数计算方法的正确性。

2.预备知识

一维离散情形，对一维映射系统的一条轨道

(2.1)

如果对初值加入一个，那么经过n步迭代之后，得，则有

. (2.2)

即

. (2.3)

因此，有

. (2.4)

设平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为，则，结合（4）,

得

. (2.5)

（2.5）中与初始值的选取无关，称为原系统的Lyapunov指数，其定量地刻画了对系统相邻两点迭代所得轨道的分离快慢程度。当时，轨道对初值是敏感的，相邻点最终要分离，即混沌轨道；当时，轨道对初值是不敏感的，相邻的点最终会做周期运动。

3.模型建立与Lyapunov指数计算方法

3.1模型的建立

一维时间切换Logistic电路状态方程为

（3.1）

其相应的实际电路如图1

虚线框(I)实现离散化连续信号并将其作时间延迟，完成离散系统的迭代过程；虚线框(II)内是模拟电路部分，由它实现方程（3.1）的右端函数形式，电路中的分别构成反向器和反向加法器，乘法器用来实现非线性平方项。

作如下的无量纲变换

上述电路状态方程（3.1）变为

（3.2）

其中的取值由电位器可调节电阻决定，为标度变换因子，引入这个因子是为了保证实验的观测值能够在一定的合适的范围内。至此，建立了周期切换下Logistic数学模型（3.2）。

3.2计算方法

令。注意到整个切换系统按照上述定义的周期切换规则在两个Logistic映射之间来回交替运行，故存在两个局部离散边界

选取为Poincaré截面，定义Poincaré映射为

即

显然，Poincaré映射依赖于参数。

如果不动点方程

有解，则切换系统（3.1）存在周期1轨道；若且，，则切换系统（3.1）存在周期轨道。

由一维离散映射的Lyapunov指数定义可知，切换系统（3.1）的Lyapunov指数定义为

其中。由于Poincaré映射的分析表达式是已知的，故可以通过链式法则求得。

4.Fortran程序实现及验证

本节利用上述分析结果，借助Fortran编写周期切换离散系统的Lyapunov指数，并结合系统的分岔图验证了所采取的方法以及程序编写的正确性。

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