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摘 要

: Henon映射作为一个二维离散映射，是高维离散映射中最简单的非线性映射，其动力学行为具有代表性，而Lyapunov指数是衡量系统动力学行为的一个重要定量指标，对于系统是否存在混沌吸引子，可以通过Lyapunov指数来判断。为了揭示Henon映射混沌产生的机制，有必要研究其Lyapunov指数的计算方法。本文通过对二维Poincaré映射Jacobian矩阵的QR分解，研究Henon映射的Lyapunov指数计算方法，并编写了相关程序并通过实例验证了本文采取的计算方法的正确性。

关键词: Henon映射，李雅普诺夫指数，周期轨道，混沌轨道

Abstract: Henon mapping, as a two-dimensional discrete-time mapping, is the simplest nonlinear mapping in the high-dimension discrete mapping. The dynamic behavior of which is representative. Since Lyapunov exponent is an important quantitative indicator for the dynamical behaviors of the system. Whether the system presents chaotic behavior can be determined by Lyapunov exponent. It is necessary to study the numerical method of Lyapunov exponent for revealling the chaotic mechanism of Henon mapping. In this paper, based on the QR decomposition of the Jacobian matrix of the two-dimensional Poincaré mapping, the numerical method of the Lyapunov exponent for Henon mapping is obtained. Meanwhile, the associated programs are compiled and the correctness of the numerical method is verified.

Key words: Henon mapping, Lyapunov exponent, periodic orbit, chaotic orbit

目录

1. 引言 4

2.预备知识 5

2.1离散动力系统的一些定义 5

2.2 离散系统Lyapunov指数的定义 6

3. Henon映射Lyapunov指数求解方法及实现 7

3.1 Lyapunov指数求解方法 7

3.2 Lyapunov指数Fortran程序实现 7

4. 仿真实现与验证 12

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1. 引言

Lyapunov指数是判断和描述非线性动力系统特征的一个重要指标之一[1]，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于混沌系统来说，一方面其轨道最终要收缩到相空间中某种类型的吸引子上；另一方面系统在相体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离[2]。混沌吸引子的不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的，为了有效刻画混沌吸引子，有必要研究动力系统的各种吸引子在无穷长轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数[3]、分维数[4]和Kolmogorov熵[5]等。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，即两个极为靠近的初始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离。

目前，国内学者对Lyapunov指数的计算方法做了很多的研究，Yan Wen[6]采用定义法求解了一维离散系统的Lyapunov指数；Liao[7]利用wolf方法计算了Lorenz、Duffing等混沌系统的Lyapunov指数；Wang[8]提出了小数据量法计算系统为一时间序列时的Lyapunov指数。对于不同的动力系统，所采取的计算方法不同，求解的精度、复杂度以及抗干扰能力存在差异，因此对某一具体的动力系统，有必要讨论适合其计算Lyapuno指数方法。

Henon映射是具有两个参数的平面映射族，作为一个二维映射，是高维映射中最简单的非线性映射，其数学表达式为：

它只有一个非线性项，因此Henon映射是高维情形最简单的非线性映射，研究其Lyapunove指数计算方法具有一定的代表性。本文以Henon映射为例讨论离散动力系统的Lyapunov指数的计算方法，并编写了相关程序，同时结合Henon映射相轨道验证了所采取的方法以及编写程序的正确性。

2.预备知识

2.1离散动力系统的一些定义

现考虑离散——时间动力系统：

（2.1）

其中为一个非线性函数，代表一个或多个变量。固定参量之后，取一个初值代入（2.1）式右面，算出；再把作为新的变量，计算；如此不断迭代下去：

（2.2）

得出一条轨道：

（2.3）

我们主要关心轨道（2.3）的长时间行为，即迭代次数超过某个足够大的以后，极限集合表现出那些恒稳定行为。

先排除最终逃逸掉的情形。我们可以设想几种可能性。

1. 从某次迭代开始，所有的都不再变化

称为迭代（2.1）的不动点。

1. 从某次迭代开始，进入有限个数字周而复始、无限重复的状态。例如，当之后

和

完全相同。这称为周期p轨道。不动点是p=1的特例，有时就叫做周期1轨道。

3.轨道点永不重复，永不进入任何周期状态。盯住一个，每迭代一定次数，轨道点就回到附近来；如果要求轨道点更靠近，就必须迭代更多次。然而，任何轨道点都不准确重复的数值。这种情形为准周期轨道。准周期轨道可以用足够长的周期轨道来足够好的逼近。

4.与以上三类不同，所有轨道点随机地取值，看不出任何规律性；取出轨道中任意长的一段，都像是一批在一定范围内随机分布的数字，当然，偶尔会遇到某个轨道点其数值很靠近先前有过的一点，但又不准确相同，这种靠近事件的出现间隔也无规律可循，这是一条随机轨道；还有一种可能的行为是：轨道点像是随机地取值，但取出有限长的一段轨道点进行精度有限的观察时，又会发现其中有某些近似的重复图式或“结构”，如果把这些近似的重复图式作为考察的单位，则它们在整个轨道中的出现方式又是随机的。这是一种混沌轨道。混沌轨道同任意长周期轨道都有充分大的偏离。

2.2 离散系统Lyapunov指数的定义

当相空间中的相邻轨道和随着时间推移时，其相应的轨迹按

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