圆周率的计算

论文总字数：17227字

目 录

摘要： 3

1.引言 5

2.圆周率的发现与认识 5

2.1历史上中国数学家对圆周率的认识 7

2.2国外历史上有关圆周率值的记载 10

3.圆周率的部分计算公式 12

3.1 Machin公式 12

3.2 Ramanujan公式 12

3.3 AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 13

3.4 Borwein四次迭代式 14

3.5 Bailey-Borwein-Plouffe算法 14

4.圆周率计算的编程实现 14

4.1 Machin公式算法实现 14

4.2割圆术算法实现 15

4.3格雷戈里莱布尼茨无穷级数算法实现 15

4.4蒙特卡罗法 16

5.圆周率计算编程结果的比较分析 16

结束语 17

参考文献： 17

致谢 19

附件 20

圆周率π的计算

姜泰吉

，China

Abstract：The value of π is a fixed and constant number. It stands as quite a role among the life and production, and the research on the process of its production and development has been a long time. On the basis of previous work, this part is inspected. We put forward our own opinions on the research of π, and compared many methods of computing π. The mainly content of my research comes below:

Firstly，it expounds the historical knowledge of π at home and abroad. It stands that even ancient ways of explore are not good enough like now and they lived in different position, π is just a about number, but they all considered it as a fixed number.

Secondly, the history of the process of π is discussed. In terms of geometric algorithm, the earliest method of calculating π value in ancient Greece was Gu Achmed. The about value of π is obtained. However, in ancient China, Liu Hui, a man who fistly accurately calculate the π value, created the circle cuting area measure, and obtained the method of π in theory. For the analysis algorithm, the Ma Ching formula is the most effective way to calculate the π value. For Bi Feng needle injection, this is the product of further development of other subjects in mathematics.

Thirdly, First of all, we briefly introduce the process of Liu Hui circle cutting, just after they have the limit conception, creative thinking and scientific thinking of circular cutting technology. Finally, the author sums up the causes of Zu Chongzhi's rate and the density, and finds that the rate is the result of Zu Chongzhi's modification of the Hui rate, and it may be a consequence of adjusting the diurnal method, or fractional method, and the indeterminate equation. Fourthly, Summarize some of the methods for calculating π and compare them with programming.

Key words：circle cutting; circle oriented; irrational transcendence; calculations of π

1.引言

谈起圆周率的数值计算时，圆的直径、圆的周长、还有其面积和体积都是最先被想到的。早在公元前三世纪初，欧几里得(Eulid，公元前330一前275)《几何原本》其中涉及到π的部分清晰地表明这个数值是一个常量。《周髀算经》中也有着类似的说法，具体记录为“径一而周三”， ^[21]同样对于π是常量的理论表示赞同，这就说明了人类对圆周率的钻研可以追溯到相当久远的一个时期。更令人值得骄傲的是我国古代对于π值精度的计算上面曾一度领衔全世界足足将近一千年之久。圆形器皿和图形在我国是非常常见的出土文物。从西汉时期便流传下来的“规矩图”之中便可窥得一二，伏羲氏手中拉着的是矩，女蜗氏将规拿在手上。图中所画的规，可以粗略地认为和我们日常使用的圆规相类似，其实他是当时的人们用来进行绘制所产生的工具。这便足以说明，圆在中国历史上的产生可以追溯到相当久远以前。

圆周计算的历史源远流长，能够在一定的程度上映射出一个国家的数学研究水准，对世界历史有着深远的影响和意义。在中国古代，第一个首先创建圆周率的精确计算方法是刘徽(约225-295)，魏晋时期数学家，他在给九章算术题注一书中正式提到了割圆的方法，并提出了“圆圈切割”。对圆的切割直到正3072边形的情形时获得了5位精度。在切割过程中，他首先介绍了无穷小量的数学证明和极限理论。同时，对π值的切确计算方法进行了探究。祖冲之(429-500)，在刘徽之后约200年研究天体运行古时历法的过程中仍然发觉刘徽和其他人所求出的π值无法达到他想要的精度，无法进一步研究，于是一路将π值计算到了7位精确数字的地步，这一项壮举令他得出的值一跃成为那时世界上最为精准的π值。祖冲之写下了他对圆周率值的精确计算过程，但这本书早已失传，因此作者、书的时间和内容，成为了数学史上争论的焦点。历代中国学者倾心于破解“缀术”，一直都找不到要诀，只能停留在揣测。

2.圆周率的发现与认识

传统上所认知的圆周比指周长长度与圆周的直径比，这一问题的开端要追溯到生产生活上对于特种工具的需求，并通过圆底量法得出。π是一个常数这一事实早已为人所知。

据已有资料显示直至微积分被发明出来之前，人们是靠着经验推测与实物测量过渡到致力于通过在圆做内外切正多边形来得到圆周率π的近似值。但在古时中国时期这一领域的研究甚至到公元5世纪都没再有更进一步的发展，然而西方却有所不同，韦达于1579年首创利用无限表达式来描述圆周率的值，并取得了9位数的精度，开劈了一条全新的道路。从17世纪一路走来，对π值的探索从未停歇过，其计算公式亦是百花齐放，层出不穷，这其中对计算π值进行计算的最行之有效的方法当数梅钦公式了。

梅钦公式进行一次迭代计算便能够得到1.4个十进制精度。在这个公式中保证了长整数对于整个式子中被乘数，被乘数占绝对优势的地位，直接导致它的形式和计算机编程要求异常的匹配。这一特点也致使梅钦公式在与其相似的反正切公式中成为了最快的了。十七世纪中旬，在数学各项学科快速发展尤其是微积分的产生条件下，π的计算方法犹如雨后春笋般应接不暇。著名的“BiFeng投针”试验和同样著名的英国数学家约翰.沃德（John Ward，1648-？）成功将几何切割圆与另一方法代数分析法融合成一种方法来计算π值。十八世纪中旬，人们致力于研究π的性质。兰伯特，林德曼分别与1761与1882年完成了圆周率无理性和超越性的首次证明，至此，对于圆周率数值π的研究走向更为偏向理论的层次。至此，对于圆周率数值π的研究走向更为偏向理论的层次。计算机在20世纪应运而生，使对圆周率的计算一下子又有了划时代新的重大突破。级数运算、迭代等问题在计算机处理重复计算的面前变得异常的轻松和准确。阿基米德、刘徽等割圆方法及梅钦公式，这一个个前人所总结出来的求算方法在计算机的助推下成功开出了更加美丽娇艳的花朵可见，随着时代的不同，π的研究在各个方面都取得了不一而同的进展。

π的研究由来已久。它已经涉足中国数学的第一本书，对，就是九章算术。不仅如此，在中国近代也有一批这样的著作，《中国算学史》、《中国在数学上的贡献》、《中国数学史简遍》都有概括性对刘徽和祖冲之在圆周率π的发现中所做出的伟大贡献进行描述。《中国古代算学中之圆周率研究》、《王莽铜解与刘欲圆周率当议》、(《关于刘徽的割圆术》，则无一例外的做出了类似的描述。《李俨与中国古代圆周率》、《论张衡的圆周率》不但对前任所作进行了严格细致的考究，还在原本的基础上进行了更高的发展。《我国关于圆周率的研究》、《中国古代关于圆周率的研究》则是选择对连篇累牍的巨量相关资料进行了整理和修订，为后人在这方面的研究铺砌了一条康庄大道。

在国外，澳大利亚新南威尔士州技术研究所的G.L. Cohen和A.G. Shannon有其协力完成的论文《约翰·沃德关于圆周率π的计算》(《John Ward's Method f or the calculation of π》)主要介绍了两人另辟蹊径通过三等分圆心角来求解π的理论方法。美国新泽西州肯恩大学数学与计算机科学系的Francine F. Abeles同样有这一篇论文，阐述在无限逼近π值的浪潮开始到一路发展慢慢演化至化圆为方经历了一段酝酿的非常引人入胜的历史。Charles L. Dodgson采取了一种前人所未有的方法，通过结合已有的圆周率理论和新进的计算方式，得出来化园为方在理论计算后的结果表明是不可能实现的。一种进行圆周率计算的更为行之有效的方法也应运而生。Lan Teddle的论文《梅钦和梅钦关于π的反正切级数表示》(《 John Machin and John Machin on Inverse - tangent Series for π》)介绍梅钦公式的发现及证明。综上所述，我们可以发现，他们的研究相对分散，花开两朵，各表一枝，整体研究不足。本文对圆周率的计算方法进行了分类、检验和整理，并对比这些方法的优缺点，由此开展针对圆周率的理解的整理。

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