分布阶微分方程的差分方法研究

论文总字数：19016字

摘 要

在过去的十几年里，分数阶微分方程受到人们大量和持续的关注。随着分数阶偏微分方程的广泛应用，证实了带分数阶导数的模型比传统的整数阶导数模型能更精确的描述科学与工程领域的系统现象。人们用分数阶微分方程代替了很多整数解的方程。然而，分数阶模型的解析解很难得到。因此，求解分数阶微分方程的数值方法研究成为当前应用数学领域的重要分支。

分数阶微分方程可以认为是把整数解方程中的导数换成分数阶导数得到的。分数阶微积分使得对函数的微分和积分发展到任意的阶数，因此，分数阶微分方程可以用来描述具有历史依赖性和全局相关性的系统。

本文研究了时间分布阶微分方程的差分格式，因为差分格式具有直观，简单，易实现等优点，可以直接写出离散方程，求解效率高，可实现编程运算。因此对带Dirichlet边界条件的时间分布阶微分方程，通过运用复化Simpson公式和Lubich’s的二阶算子，建立收敛阶为O()的差分格式。其中τ，h,和σ分别为时间步长，空间步长和分布阶变量。用能量方法分析了其无条件稳定性与收敛性。最后数值验证了差分格式的精度。

关键字 时间分布阶微分方程 ； Lubich’s离散；差分格式；稳定性；收敛性。

Abstract

Over the last decade, fractional differential equations attract considerable and sustained attention . With the various application of fractional partial differential equations , it has been confirmed that compared with the traditional integer order derivative model , fractional reciprocal model can provide a more accurate description for the science and engineering systems, so that the fractional differential equation has been used to replace many integer solutions. However, it is hard to calculate the analytical solution of the fractional order model . Therefore, the numerical method for solving fractional differential equations has become an important branch of the application of mathematics.

The fractional differential equation can be considered the fractional derivative of the integral solution to the fractional derivative. Fractional calculus makes the differential and integral of function develop to any order, so fractional differential equation can be used to describe the system with historical dependence and global relativity.

In this paper, we study the difference scheme for the time fractional differential equations, because the difference scheme is intuitive, simple and easy to realize ,We can calculate the discrete equation directly. The difference scheme own high solution efficiency, It is convenient to realize the programming operation. So the anomalous diffusion equation with Dirichlet boundary conditions, by using complex Simpson formula and Lubich' s second order operator, establish the difference scheme with the convergence order in O () . The τ, h, and σ respectively for the time step, norm mean space step and variable order distribution. The unconditional stability and the convergence of the method are analyzed by energy method. Finally, the numerical results are given.

Keywords : time fractional differential equations, Lubich's operator ,difference scheme, stability and convergence .

目录

摘要-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

Abstract------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

1. 引言--------------------------------------------------------------------------------------------------------4
   1. 研究背景和现状 -------------------------------------------------------------------------------------4
   2. 研究内容--------------------------------------------------------------------------------------------------5
2. 差分格式的建立--------------------------------------------------------------------------------------7

2.1 相关记号和引理---------------------------------------------------------------------------------------7

2.2 差分格式的建立-------------------------------------------------------------------------------------8

1. 稳定性和收敛性分析 ---------------------------------------------------------------------------11
2. 数值验证-------------------------------------------------------------------------------------------15

4.1数值算例-------------------------------------------------------------------------------------15

4.2 最大误差与收敛阶-------------------------------------------------------------------16

1. 论文总结-------------------------------------------------------------------------------------18
2. 参考文献-------------------------------------------------------------------------------19

附录一 计算程序------------------------------------------------------------------------------20

附录二 致谢------------------------------------------------------------------------------------------23

1. 引言

§1.1 研究背景和现状

在1695年Leibniz给L’Hospital写的笔记中提到的关于1/2阶导数的含义，分数阶导数的历史从此展开。这一概念促使了分数阶微积分理论的出现，使对函数的微分和积分发展到任意的阶段。分数阶微分方程是传统整数微分方程的推广，即用分数阶导代替相应的整数阶导，在描述各种各样的物质的记忆和遗传特征时，比整数阶微分方程更加准确，因此广泛应用于物理，化学和其他科学领域。研究发现，有分数阶算子的分数阶微分方程，具有非局域连接性，对非局域连接的物理过程和化学反应过程的描述比经典的微分方程更准确。一维的时间分数方程已经成功的应用于反常扩散多孔介质模型。对单项的时间分数方程已经进行了各种研究，包括解析解与对一维问题的数值方法。如今，有些研究致力于更一般的时间分数分布阶微分方程。

近年来，在物理、化学、金融、流体力学等科学领域都发现了反常扩散现象。在反常低扩散过程中，粒子扩散不再是传统的布朗运动，许多学者致力于研究反常扩散问题，取得了众多成熟的研究结果。文献[7-9]提出了带奇异核的积分微分的有限差分格式并分析了格式的有效性。这类积分微分方程与分数阶微分方程有某种等价性。

求解时间分数阶微分方程，关键在于离散时间分数阶导数。因为此类问题的历史依赖性，为了求解当前层，之前所有层的信息都要保存。现在比较完善的离散方法有Grűnwald -Letnikov公式和L1公式两种。Grűnwald-Letnikov公式有一阶精确度，L1公式精度为2-α，其中α∈（0,1）是导数的阶数。结合Grűnwald -Letnikov公式对时间导数的离散和不同的空间离散方法，文献[10-12]给出了求解时间分数阶微分方程的几种不同的数值方法，给出了相应的误差估计。L1方法也同样被用于求解时间分数阶微分方程的等价形式。对分布阶微分方程，在数值方法上的研究已经得出结论。在Podlubny et al.中给出求分布阶微分方程解的矩阵方法。Diethelm和Ford用求积公式近似求解分布阶微分方程，多项分数阶导数问题最后得到一组单项问题。Morgado和Rebelo建立了一种隐格式近似非线性源项的时间分布阶反应扩散方程。Katsikadelis用梯形公式建立分布阶微分方程的数值格式，用近似多项分数微分方程模拟问题方法。但是导数稳定性和收敛性仅有数值例子没有严格的证明。

§1.2 研究内容

本文研究Caputo型时间分布阶微分方程

(1.2)

(1.3)

其中，

其中F(x ,t)和φ(x ,t)为已知光滑函数，如果问题的初始条件不为零，通过某些变换使其转化为初始边界为零。

通过应用复化Simpson公式，以及不需要限制导数的解在初始时间为零的Lubich’s高阶算子，我们对时间分布阶微分方程(1.1)-(1.3)提出向后差分格式，用数值复化Simpson公式近似分布阶变量的积分，用Lubich’s算子离散时间分数阶导数，最后得到时间和空间二阶精度的差分格式。

本文分为下面几个部分。在第二章，对分布阶方程(1.1)-(1.3)的差分格式进行推导，第三章对稳定性及收敛性进行理论分析。第四章数值验证差分格式的精度。最后得出一个简要的结论。

第二章 差分格式的建立

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