论文总字数：33888字
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\begin{center}{\kaishu \zihao{2}{金融时间序列的验证及应用}}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\kaishu\zihao{4} 摘\ \ \ \ 要}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要} {\kaishu \ \
预测是股票等金融时间序列领域非常重要的话题，如何提高预测准确度是现如今研究的热点。
本文主要介绍卡尔曼滤波器算法，它是通过递归方法得到最佳估计及预测的算法。首先，运用微积分、矩阵及概率论等相关知识得到卡尔曼系数的具体推导，详细表达出卡尔曼滤波算法的本质；然后，通过仿真实验体现出卡尔曼滤波算法优良的性能。
接下来，考虑将卡尔曼滤波算法与时间序列模型相结合，推导并给出时间序列的状态空间表示，包括随机游动、自回归过程及自回归移动平均模型($ARMA（p，q）$)这些常见的时序模型，验证滤波算法对系统状态的最佳估计。
最后，用实际的股票数据进行实证分析，建立金融时间序列模型，对其进行模型识别和参数估计，并通过模型计算得到预测结果。之后，运用卡尔曼滤波算法中的预测方程给出另一组预测值，将两组预测值分别与真实股票数据进行对比，体现出卡尔曼滤波算法优良的预测性能。
\vskip 1cm \noindent{\kaishu 关键词: \ 卡尔曼滤波,\ 迭代算法, \
状态空间表示, \ 时间序列模型, \ 预测 }
\songti
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\begin{center}{\rm Validation and Application of Financial Time Series}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\rm\zihao{4} Abstract}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}
\par
Forecasting is a very important topic in the field of financial time series such as stocks. How to improve the accuracy of forecasting is a hot research topic nowadays.
This paper mainly introduces Kalman filter algorithm, which is an algorithm to get the best estimation and prediction by recursive methods. Firstly, the specific derivation of Kalman gain is obtained by calculus, matrix and probability theory, and the essence of Kalman filtering algorithm is expressed in detail. Then, the excellent performance of Kalman filtering algorithm is demonstrated by simulation experiments. Next, we consider combining Kalman filtering algorithm with time series models. The state space representation of time series is deduced and given, including random walk, autoregressive process and autoregressive moving average model ($ARMA (p, q)$). These common time series models are used to verify the optimal estimation of system state by filtering algorithm. Finally, the real stock data are used for empirical analysis, the financial time series model is established, and the model identification and parameter estimation are carried out. The prediction results are obtained through model calculation. Then, another group of predictive values is given by using the prediction equation of Kalman filtering algorithm. The two groups of predictive values are compared with the real stock data, which shows the excellent prediction performance of Kalman filtering algorithm.
\vskip 0.8cm \noindent{\rm Key Words:\ the Kalman filter, \ recursive methods, \
state space representation, \ time series models,\ forecasting }
\songti
\tableofcontents
\songti
\mainmatter
\chapter{导论}
\s0 \vskip 3mm
\section{研究背景}
近二十年来，金融时间序列相关问题已成为经济学和金融学研究的热点。正确分析和预测财务时间序列的变化，可以为相关部门和投资者提供可靠的管理和决策，现如今存在大量为了得到更加精确的预测值的研究。金融时间序列有很多，其中股票就是最为常见普遍的一种。
股市市场波动剧烈，受交易员意见等因素影响\cite{stock_1}。不仅如此，以股票为代表的时间序列还可能受到政治、调控等各种事件的影响。市场情绪的迅速变化和该国政治领域的迅速发展，都会影响这一时期的股票走势，这是由于统治政府对任何特定公司选择的政策可能会影响投资者的投资组合及其股息\cite{stock_2}。故此，对这些时间序列的研究，对股票市场未来走势的合理预测和分析将有助于投资者更准确地进行投资。由于股票市场的随机性和不确定性，股票价格预测需要寻找合适的方法。
20世纪40年代，维纳和科尔莫戈洛夫分别给出了经典维纳滤波理论\cite{W_process}\cite{W_process_2}，这是只适用于平稳随机过程的频域方法。1960年， 美国学者$R.E.Kalman$ 和$R.S.Bucy$介绍了系统的状态变量和状态空间概念，提出了时域状态空间法，建立了卡尔曼滤波理论\cite{W_process_3}。
卡尔曼滤波器是一个线性离散时间系统，为一组差分方程提供了一个递推解，易于在计算机上实时实现。卡尔曼滤波器的递归性质只要求保留状态向量的先前值，以产生未来的估计。这种递推算法使得卡尔曼滤波器对实时应用非常有用。它适用于处理多变量系统、时变系统和非平稳随机过程，对股票市场也尤为适用，因为它可以在这种噪声系统得到更好的价格预测。它可以克服经典维纳滤波理论的缺点和局限性。
卡尔曼滤波器已经成为广泛研究和应用的课题，特别是在导航领域。凭借它良好的动态实时跟踪特性，除了金融领域，在诸多领域都有应用，是非常强有力的工具，例如，已被美国国家航空航天局（NASA）用于卫星轨道确定，并广泛应用于阿波罗、海员等任务中。美国航天局技术备忘录中有一题为“发现卡尔曼滤波器作为航空航天和工业的实用工具”\cite{BG} 明确地规定了通过该算法可以解决的问题的范围。除了本文所给的介绍的基本卡尔曼滤波算法，文章\cite{f1}为自适应滤波提供了参考，文章\cite{f2}提供了具体自适应卡尔曼滤波算法。
状态空间模型\cite{ssm_1}\cite{ssm_2}是一种表示状态变量的方法。它允许用户对观测到的时间序列进行建模，将其表示为状态变量的向量，这些变量本质上是由随机的过程驱动。状态空间格式使得卡尔曼滤波器在数字计算机上更易于实现。
\section{研究方法}
本文采用数理推导与实证分析相结合的研究方法。
使用概率论、数理统计、时间序列分析、应用回归分析、随机过程、微积分、高等代数等有关知识，进行卡尔曼滤波算法的有关介绍和性质推导，给出卡尔曼循环的基本表示，并通过实证进行体现。之后，推导常见的金融时间序列模型$ARMA（p,q）$的状态空间模型下的一般表示，选择股票数据进行实证分析，序列平稳化处理以及模型识别，之后使用卡尔曼滤波算法进行预测分析，并与ARMA模型的多步预测方法得到的结果与真实值进行结果对比。比较预测方法的优劣，并在此基础上总结卡尔曼滤波算法的性能。
\section{文章结构}
本文的结构如下，将在第一章给出卡尔曼滤波的介绍，内容包括基本模型、算法详情，给出卡尔曼系数的具体推导，并通过仿真模拟给出卡尔曼滤波算法的性质。第二章将推导并给出随机游动模型、二阶自回归模型以及$ARMA(p,q)$模型的状态空间下的形式，并将状态空间表示下的时间序列模型与卡尔曼滤波算法的结合，最后一小节给出以随机游动为例的仿真结果，体现卡尔曼滤波的性质。第三章主要为卡尔曼滤波的预测性质分析，选取一实际股票数据进行模型识别与参数估计，将多步预测结果与卡尔曼滤波算法得到的预测结果与真实值进行对比，得到卡尔曼滤波预测性质的总结。最后一章总结全文，给出本文研究的瑕疵以及之后的研究方向。
\chapter{卡尔曼滤波介绍}
\section{状态方程}
卡尔曼滤波器解决了由线性随机差分方程控制的离散时间状态下$x\in \Re^n$估计的一般问题\cite{intro}:
\begin{equation}
x_k=Ax_{k-1} Bu_{k-1} w_{k-1},
\end{equation}
以及一个观测方程\cite{Intro}\cite{Int_2}如下，其中$z\in\Re^m$，
\begin{equation}
z_k=Hx_k v_k.
\end{equation}
\subsection{模型介绍}
对于以上的公式符号，进行说明如下：\\
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