Robin系数的nesterov迭代算法

论文总字数：17998字

摘 要

本文提出并分析了一种基于兰德韦伯迭代的nesterov加速迭代算法求解巴拿赫空间逆问题。该方法通过引入一个适当的，弱下半连续的凸函数（p≥2），允 许使用非光滑的惩罚项，包括和全变差的惩罚函数，这对于重建解决方案的特殊功能具有重要意义，例如在实际应用中的稀疏性和分片常数。我们考虑了三个数值模拟模型，其中包括CT成像，椭圆参数方程的反演问题，一维热传导模型Robin系数的逆问题，数值模拟结果表明了该方法的有效性。

关键词：兰德韦伯迭代，nesterov加速迭代，巴拿赫空间。

Abstract

In this paper, a nesterov accelerated iteration algorithm based on LandWeber iteration is proposed and analyzed to solve the inverse problem of Banach space. By introducing an appropriate lower semi-continuous convex function (p ≥ 2), the method allows the use of non-smooth penalty terms, including and penalty functions with total variation, which is of great significance for reconstructing the special functions of solutions, such as sparsity and fragmentation constants in practical applications. We consider three numerical simulation models, including CT imaging, inverse problem of elliptic parameter equation and inverse problem of Robin coefficient of one-dimensional heat conduction model. The numerical simulation results show that the method is effective.

Key words: LandWeber iteration, nesterov accelerated iteration, Banach space.

目 录

第一章 概述 1

1.1背景 1

1.2论文介绍 1

第二章 准备工作 4

2.1拟范数定义 5

2.2巴拿赫空间 5

第三章 Nesterov加速迭代法 8

第四章 数值模拟 10

4.1计算机断层扫描 10

4.2椭圆参数识别 12

4.3罗宾系数重建 15

4.3.1数值实现 16

总结与展望 18

参考文献 19

致 谢 21

第一章 概述

1.1背景

在我们求解许多应用问题的过程中，最终都能够归结为服从物理规律的物理场问题的确定。而在描述各种场函数在变量空间满足的物理规律时，偏微分方程系统是非常重要，也是非常有效的工具之一。偏微分方程可以解决正反问题，其中正问题就是求满足一定条件，包括初始条件、边界条件以及无穷远处条件下的偏微分方程的定解问题的解。正问题往往是通过数学物理方法求一些包括温度场、波场等经典的场分布。如果偏微分方程的定解问题中某些已知成分变成了未知，但我们获取了关于未知系统解的一些信息，我们就可以通过偏微分方程、定解条和附加信息 来确定这些未知成分，这就是偏微分方程的反问题。

Dirichlet条件、Neumann条件和Robin边界条件是偏微分方程的主要边界条件。本文主要研究带有混合边界条件的热传导方程的Robin系数的反问题。这是一类非常典型的反问题。考虑杆状介质的热传导过程。在介质的物理性质和周围环境性质已知的前提下，该热传导的过程是确定的，但在实际情况中，介质的物理性质和周围环境性质往往是未知的，因此我们需要通过其他测量数据来反演未知参数，也就是我们提到的反问题。近些年，反问题在信号监测、数学物理、医疗等领域都起到了非常重要的作用，反问题在应用数学领域无处不在，因此发展迅速。1923年，针对偏微分方程的定解问题，著名数学家Hadamard提出了适定性的概念。所谓适定性，主要囊括解的唯一性、稳定性和存在性，并且三者必须同时具备。然而，不适定性和非线性性却是反问题最显著的特征。对于非线性不适定的反问题，主要要求应用一些特殊的正则化方法。Tiknonov正则化方法和迭代法是目前被应用最多的方法。而兰德韦伯迭代法又因为其较好的稳定性，在迭代法中具有较高的研究价值。鉴于以上背景，本文的目的是解决热传导系统中介质边界上的Robin系数反演，主要研究利用优化后的兰德韦伯迭代法由噪音测量数据反演边界Robin系数，这样处理大大减少了运算时间，同时我们也对于优化效果进行比对说明。

1.2论文介绍

在这篇论文中，我们感兴趣的主要是是解下面这个形式的逆问题

其中，即F是巴拿赫空间X和巴拿赫空间Y之间的Fréchet可微算子。在本文中，我们将会有一个假设，假设(1.1)是有一个解决方案，且它不一定是唯一的。需要说明的是，这种逆问题是有局限的，对于解不稳定地依赖于给定数据的小扰动，逆问题并不适用。在实践中我们没有给出y的确切数据，而是只给出了噪声数据的满足条件:

因此，有必要采用正则化方法来近似求解(1.1)。

兰德韦伯迭代是求解希尔伯特空间反问题最著名的正则化方法之一。1951年，兰德韦伯首次出了兰德韦伯迭代法，用以解决线性问题。兰德韦伯迭代法被认为是求解二次泛函的最速下降法，随着兰德韦伯迭代法迭代次数的提高，其精度也会越高，但是想要方法稳定，迭代次数要尽量少。因此在使用兰德韦伯迭代法的时候，往往会选取一个适合的正则化参数α，才能使方法稳定性更好，精度更高。反问题最显著的特性是非线性性和不适定性，1994年 Tautenhahn[1]分别讨论了在存在或不存在扰动误差的两种情况之下，连续的兰德韦伯方法的收敛性问题。1995年，Hanke等人[2]证明了兰德韦伯迭代法的收敛性，且Scherzer[3]提出了解决非线性问题的兰德韦伯迭代法的收敛标准。兰德韦伯迭代法对线性问题和非线性问题的完整分析可分别在[4,6,8]中找到，包括收敛分析和各种加速方法。兰德韦伯迭代法由于其简单的实现和对噪声的不稳定性得到了广泛的关注。

然而，即使是经典的希尔伯特空间的兰德韦伯迭代法，也并不是没有缺陷的，这个方法总是使解过于光滑，这就导致了解的稀疏性和不连续性等特征难以捕捉。因此无论是在巴拿赫空间中，还是在一般的非光滑罚函数中，我们提出了对兰德韦伯迭代进行各种重新表述，见[23, 19, 9, 7, 12, 14, 18]，目的就是为了克服这种缺陷。在[19]中，在用梯度法求解下式的过程中

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