论文总字数：20910字

摘 要

在2018年国际青年物理学家竞赛上，一道题目描述了方位径向摆的奇特现象。用刚性支架固定住水平弹性杆的一端。在水平弹性杆的另一端上用一紧绷的绳子悬挂以避免垂直偏转，并在那上面用另一根绳挂上一个单摆。在做单摆运动的时候，径向震荡（平行于杆）可以自发地改变成方位震荡（垂直于杆），反之亦然。本文研究了这种怪异现象的产生原因。为了方便起见，本文将方位径向摆做了一定程度的简化。在研究方位径向摆时，首先，应用拉格朗日方程，将它转换为数学模型。接下来将它导入数学软件中进行求解，做出它的轨迹图与庞加莱截面图。最后，根据输出的图像分析悬挂物的运动形式。本文从数学的角度对方位径向摆的怪异现象的产生原因作出解释，通过给出悬挂物的的运动方程来对这种现象进行说明。研究发现，方位径向摆中蕴含混沌现象，且悬挂物释放位置越是水平于杆，悬挂物发生微小偏转的摆动次数越多，完成整个偏转所需要的时间越长，整个偏转的范围越大。

关键词：方位径向摆，庞加莱截面，拉格朗日方程

Abstract

There is a question in IYPT(International Young Physicists’ Tournament). It describes as following. Fix one end of a horizontal elastic rod to a rigid stand. Support the other end of the rod with a taut string to avoid vertical deflection and suspend a bob from it on another string. In the resulting pendulum the radial oscillations (parallel to the rod) can spontaneously convert into azimuthal oscillations (perpendicular to the rod) and vice versa. And this paper researches the reason of this phenomenon. Firstly, this paper turns the Azimuthal-Radial Pendulum into the mathematical model by using Lagrange’s equation. Then this paper uses Mathematica to build the Model and also get the motion pictures and the Poincaré Sections. At last, this paper analyses the type of the suspender’s motion by the output pictures. And to make us research this phenomenon easily, this paper simplifies the model of Azimuthal-Radial Pendulum. This paper explains the reason why this phenomenon happens by using math methods and interprets why in the Azimuthal-Radial Pendulum the radial oscillations (parallel to the rod) can spontaneously convert into azimuthal oscillations (perpendicular to the rod) and vice versa through giving the motion equations of the suspender. This paper finds there is a Chaos Phenomenon in the Azimuthal-Radial Pendulum. And if the position where the suspender is released is more parallel to the rod, the times of swing that the deflection of the suspender is small will be more, the time when a whole deflection is completed will be longer and the range of a whole deflection will be larger.

KEY WORDS: Azimuthal-Radial Pendulum, Poincaré Sections, Lagrange’s equation

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 绪论 4

1.1 引言 4

1.2 基本参数摆现阶段的研究 2

1.2.1 从数学的角度进行的研究 2

1.2.2 从物理的角度进行的研究 4

第二章 建立方位径向摆模型 5

2.1 拉格朗日方程 6

2.2 建立数学模型 7

2.3 应用数学软件建立模型 10

第三章 运动状态分析 13

3.1 庞加莱截面 13

3.2 应用数学软件进行分析 13

3.2.1 运动轨迹的分析 13

3.2.2 选取庞加莱截面分析 16

第四章 总结与展望 19

4.1 论文研究成果 19

4.2 对未来工作的展望 19

参考文献 21

附录 23

绪论

引言

伴随着时代的发展以及社会的进步，越来越多的现实生活问题也随着知识与工具的积累而在一点一滴地被解决。反过来说，现实生活中的一些问题也可以给予一些启示，推动科学技术的发展以及促进知识水平的提升。如果从这个角度上进行思考，一些看似平凡无奇的问题，说不定也蕴含着科学前沿问题的一些影子，而对于他们的研究，也就势在必行，也可以带给研究前沿一些新的思路以及启发。

如此这般，IYPT上的问题可以说是再好不过的研究对象。IYPT，是国际青年物理学家竞赛（international youth physical tournament）的简称，在20世纪80年代由苏联发起，每年都会进行举办，到目前为止已经举办23届。它和国际物理奥林匹克竞赛、国际青年学生科学论文竞赛并称为三大顶级国际中学生物理竞赛。而在那上面题目都很有研究的价值。最终将目光定在了2018年的国际青年物理学家竞赛的第11题上，该问题描述为：用刚性支架固定住水平弹性杆的一端。在水平弹性杆的另一端上用一紧绷的绳子悬挂以避免垂直偏转，并在那上面用另一根绳挂上一个单摆。在做单摆运动的时候，径向震荡（平行于杆）可以自发地改变成方位震荡（垂直于杆），反之亦然。研究这个现象。

图1 方位径向摆示意图

这个问题首先并不容易解答，而在实验室里进行情景模拟（如图2所示），正如它所描述的那样，沿着平行于杆的位置释放，可以发现，小球的摆动开始逐渐发生偏转，由原来的平行于杆的摆动开始慢慢地偏向于垂直于杆的摆动。在完全垂直于杆的摆动过后，会继续的沿着之前的方向偏转，又开始向平行于杆的摆动偏转，一直到摆动变为几乎平行于杆的摆动之后，即是摆动的方向差不多发生了180度的偏转。这时，可以发现，摆动的偏转渐渐地停止了下来，渐渐地改为了沿着与之前偏转方向相反的方向开始发生了偏转，而且会一直保持着这样的偏转，直到差不多又发生了180度的偏转，然后偏转的方向再度改变，周而复始。

图2 方位径向摆实验图

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：20910字