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摘 要
本文将主要介绍抛物型方程解的渐近性理论，并试着应用渐近性理论证明一类非线性抛物型方程解的光滑收敛性质。所研究的非线性抛物型方程可用来刻画一类保长的闭凸曲线流曲率函数的演化特征，方程解的收敛性质对应着曲线流的收敛性质。
关键词：抛物型方程，渐近性，曲线流
Abstract
In this thesis, we introduce the asymptotic behavior theory of solutions of parabolic equations, and the theory is applied to prove the smooth convergence of solutions for a class of nonlinear parabolic equations. The studied equation studied can be used to characterize the evolution of curvature functions of a class of closed convex curve flow preserving the length of evolving curves, and the convergence property of the solution of the equation implies the convergence property of the curve flow.
KEY WORDS: Parabolic equation, Asymptotic behavior,curves flow
目录
摘要 I
Abstract II
第一章 引言 1
1.1 问题介绍 1
1.2 曲线流问题 2
1.3 论文组织结构 3
第二章 相关引理 4
2.1 第一初边值问题解的收敛性 4
2.2 周期边值问题解的收敛性 6
2.3 周期边值热方程解的收敛性 7
第三章 曲线流问题解的收敛性分析 9
致谢 11
参考文献 12
引言
问题介绍
来看一个特殊的热方程
用分离变量法来解该方程，设
，
则
，
， （1-1）
（1）首先考虑函数 ，由（1-1）知满足，将方程转化为
，
解得
经判断①、②不满足方程的条件，故只有③为符合条件的解，即
，
则
。
由函数的边值条件，所以
，
即
。
（2）接下来考虑函数
， （1-2）
我们知道
，
所以，将式（1-2）转化为
所以
。
（3）综合（1）、（2）可得
，
其初值为的Fourier展开。
所以可得解的表达式为
，
其中是连续可微函数，，且
，
由上述解的表达式可知，当时，，并且它是按指数形式趋向0的，即
。
也可以这样理解，我们考虑稳恒方程的边值问题
，
它的解。所以，当时，抛物型方程第一混合问题的解一致地收敛于其相应稳定方程边值问题的解。
曲线流问题
曲线流问题是几何分析中的热点问题，它指的是给定曲线在每点沿着法方向演化的速度之后所形成的曲线流的演化性态问题。而曲线流的演化性态问题通常可以转化为曲率函数所满足的抛物型方程解的大时间性态问题，参见[4-8]。如果在曲线流的演化过程中，要求曲线的周长或者所围成的面积保持不变，即考察的是一个保长曲线流（参见[6，8]）或者保面积曲线流(参见[4，8])。这些曲率流的曲率函数所满足的方程是一个非线性抛物型方程。假定曲率函数为，则满足
，
其中非局部项是一个随时间变换的整体几何量。
在说明曲线流的光滑收敛性质时，首先需要证明曲率函数一致的趋于一个常数，然后进一步需要说明曲率函数与极限常数的差以指数衰减的方式收敛到零。对此，可以采用Gage-Hamilton的能量估计的方法来证明指数衰减的性质，参见[4]。而本文的思路则是将曲率方程的解与相应的线性偏微分方程的解进行比较，利用线性偏微分方程解的渐近性质来证明我们想要的结果。
论文组织结构
本文组织结构如下:
第二章给出了一些引理以及证明，主要是为第三章主要定理的证明做准备。
第三章考察了曲率方程解的光滑收敛性，证明了主要定理。
相关引理
第一初边值问题解的收敛性
设是变元的2维空间的一个区域，它由上的区间和半空间内的光滑曲线所界，假定对每个,是非空的有界域，令
。
以表示空间内的1维有界域，稍后，我们将假定在下列意义下：
当时
；
在上的点与上点中的之间存在的连续对应，且当时
。
等价于如下的说法：任给，存在，只要，对任意及，都有点和,使得。
定义2.1.1设与是分别定义于与上的函数，如果对每个，存在，使当时，，则称当时，并记成
，
若上述与都与无关，则称这个收敛性在内是一致的。
如果对任意，存在，使当时，，则称当时，在内一致地趋于0。
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