论文总字数：11343字

摘 要

赛车追求用最短的时间跑圈，在一圈紧张刺激的跑圈比赛中，直道赛程需要考验赛车手的换挡技巧与赛车的本身机械性能，而进入弯道赛程时，又需要考验赛车手的刹车、油门、方向、档位等技能，力争做到完美。如何选择最佳路线，在最短的时间内完成一场跑圈比赛是关键性的问题。本文采用数学中变分法来建立赛车跑圈的非线性规划模型，结合仿真数据与数学软件Matlab进行数值模拟，来规划出赛车跑圈的最短时间路线。

关键词：变分法，非线性规划，Matlab，数值模拟

Abstract

The car is chasing the shortest time to finish a lap race . In a tight lap race，The straight track needs to test the racer's gear shifting skills and the mechanical properties of the car itself. When entering the curve, it is necessary to test the brake, throttle, direction, gear and other skills of the driver and strive for perfection. How to choose the best route to complete a race in the shortest time is the key problem. This paper USES a famous variational method to establish the mathematical nonlinear programming model of the car run laps, combined with the simulation data and mathematical software Matlab to carry on the numerical simulation, the shortest time to plan out the car run laps route.

KEY WORDS:Variational method,Nonlinear programming,Matlab,The numerical simulation

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 引言 2

第二章 模型的假设与建立 2

2.1 模型假设 2

2.2 符号说明 2

2.3 模型的推导与建立 3

2.3.1 变分模型的推导 3

2.3.2 弯道直道分段 4

2.3.3 弯道模型分析 4

2.3.4 直道模型分析 6

3、赛道全程模型衔接分析： 8

第三章 模型的求解 9

3.1 模型的离散化 9

3.1.1 区间的分割 9

3.1.2 求积公式的选择 9

3.1.3 弯道模型的离散化 9

3.1.4 直道模型的离散化 11

3.1.5 全程赛道模型的离散化 11

3.1.6 建立求解离散化全程赛道模型算法 12

第四章 数值实验 14

第五章 总结与展望 17

5.1 总结 17

5.2 展望 17

参考文献 19

致谢 20

引言

汽车不仅可以为人们提供极大的交通便利，还可以为那些喜欢赛车的人提供视觉上的乐趣。在一场紧张而刺激的赛车比赛中，以最短的时间通过终点意味着一分一秒都凝聚了赛车手和工程师的汗水。

大多数形式的赛车比赛中，当赛车进入直道环节时，除了赛车手需要把握最佳的换挡时间外，主要还要靠赛车本身的机械性能。而当赛车进入了千奇百怪的弯道之后，这个时候才是真正考验一个赛车手的能力的时刻。赛车手需要在刹车、油门、方向、档位这几个方面同时力争做到完美，才可以甩掉旁边的对手取得领先。因而赛车如何最快过弯成为了衡量一个赛车手是否优秀的最重要的砝码。也正是因为如此，完美规划出一条过弯的路线才可以规划出赛车在整场跑圈中所用最短时间的路线。

如何规划出一条完美的路线，需要用到数学中变分思想，利用变分法建立起的一个非线性规划的模型。虽然此模型并不能直接求解，但是利用数值分析的方法，可以将此模型微元化，利用离散点和数值积分的求积公式进行求积拟合。最后利用Matlab进行数值实验，得出一条较为精确的路线。

此课题在进行的过程中，会遇到很多问题，比如学校现有的条件无法进行此规模的赛车比赛，因而对于赛车的性能和赛车跑道的各项属性均无从得之，以及所需要的很多必须确定下来的数据都不易得到，故只能在所编写的程序中来随机生成这些数据，最终得到的结果可能会和实际情况存在一定的误差。减少这些误差的唯一方式就是在一场现实的赛车比赛中进行实地考察，将考察过程中得到的数据结论运用到此课题中，从而得出一个较为精确的结果。

本论文的结构如下：

第一章对赛车跑圈的模型进行假设，再利用变分法进行对模型的建立，需要建立三部分模型：弯道模型、直道模型和全程赛道模型。

第二章利用所学课程《数值分析》中的积分的求积公式的知识点，选择梯形公式，给出三部分模型的数值化算法。

第三章利用Matlab编程，再利用具体数据进行数值实验得出结论。

第四章进行总结，并说明对此课题未来的展望。

第二章 模型的假设与建立

2.1 模型假设

（1）假设赛车跑圈时的动摩擦因数μ恒定，赛车在跑圈过程中不能发生侧滑，发生侧滑的情况下会影响跑圈的时间。

（2）赛道不存在起伏，赛车跑圈时不能跑出赛道

（3）加速度不能超过其牵引力所给的最大加速度

（4）跑圈过程中不存在风产生的阻力所带来的影响

（5）整个赛道为闭合型赛道，并且赛道的连接方式为弯道和直道的连接方式

（6）由于赛车不能发生侧滑，同速度的限制一个道理，这里会产生一个角速度的限制，设为 。

（7）由于赛车自身的性能影响，赛车自身具有一个最大加速度，此加速度设为 。

（8）以μ表示赛车与赛道地面间的动摩擦因数，g表示重力加速度，M表示赛车与车手的总质量,这些量均为定值。

（9）赛车按照逆时针进行跑圈，并从直道的起始点处起跑

（10）选取赛道中心点时，该点须满足与赛道连接之后只会与赛道内沿和外沿产生一个交点，满足该条件的所有点中任意选取一个点即可。

2.2 符号说明

（1）赛车位置所对应的中心角：选取闭合型赛道的中心点,以 表示赛车仔赛道上的道的起始位置， 表示赛车在赛道上的末位置，表示以中心点连接赛车与连接起点所成的中心角，同时表示赛车所在的位置。

（2）赛车位置的限制函数：选取赛道的中心点,以 表示赛道内圈对赛车路线的限制函数，以 表示赛道外圈对赛车路线的限制函数，以赛道中心点O到赛车的这段距离表示赛车在 处所对应的位置函数。

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