一类一维随机系统的遍历性研究

论文总字数：20744字

摘 要

在传染病动力学研究的初期，人们通常建立的是确定性数学模型，很少去考虑随机因素对传染病的影响，这样其实跟实际情况是不相符的。因此，随着研究的深入，人们逐渐开始研究随机传染病模型。其中有一类情况研究的是带有饱和发生率的随机传染病模型。通常情况下，每个具体模型的饱和发生率为一个具体形式。本文研究的模型对象是一类带有一般形式饱和发生率的随机传染病模型，具体来说是带有一般形式饱和发生率的SIS随机传染病模型。

第一章建立了模型并给出饱和发生率的一些约束条件，模型本来是二维系统，通过降维，我们将模型转变成为一维的情况，这样极大的增加了研究的便利性。

第二章探讨的问题是模型正解的全局存在性和唯一性，本文没有使用[14]里面的利用伊藤公式变换的方法，而是通过验证了本文引理一中的一些条件来进行证明。

第三章研究的问题是疾病的灭绝条件，其中一个重要的数值为再生数。本文的结论是当时，疾病灭绝；当时，疾病依分布灭绝。

第四章验证了当时，系统具有遍历性，同时还求出了不变密度函数的表达形式。

第五章使用了Euler–Maruyama方法，把随机微分方程进行了离散化，并利用Matlab进行了简单的数值模拟实验。

关键词：SIS，伊藤公式，再生数，灭绝条件，遍历性

Abstract

Historically, human health has been seriously affected by the infectious diseases which threaten the development of human society and severely hamper the healthy development of the global economy. The use of mathematical models to study and simulate the spread of infectious diseases is a very effective method. In the early stage of the study on the dynamics of infectious diseases, it is usually to establish the determined mathematical model, and the influence of random factors on the model is seldom mentioned, which is not compacted with the real situation. Thus people are starting to investigate stochastic infectious disease models. There is a class of stochastic epidemic models with saturation incidence. Typically, the saturation incidence of each specific model has its specific form. A stochastic SIS epidemic model with a general form of saturated incidence was proposed in this paper

The stochastic SIS model is derived in Chapter one where Some general assumptions are given for the saturated incidence rate. By simplifying the original 2-dimensional model, we can study a 1-dimensional model instead which is simpler.

The global existence and uniqueness of the nonnegative/positive solutions of this model are studied in chapter 2.

In chapter 3, we focused on the problem of the extinction of disease, and derived an important threshold, . The conclusion shows that when is less than or equal to 1, the disease will be die out.

The fourth chapter verifies that whengt; 1, the model has ergodic property, and the expression of invariant density function is obtained according to the theory of stochastic differential equations.

In chapter 5, the Euler - Maruyama method is used to discretize the stochastic differential equation, and some numerical simulation experiments are carried out with Matlab.

KEYWORDS: SIS, ITO formula, Reproductive number, extinction, ergodic property

目 录

摘要Ⅰ

AbstractⅡ

第一章 绪论1

1.1 引言1

1.2 预备知识2

1.3 模型说明3

第二章 正解的存在性和唯一性4

第三章 疾病灭绝条件6

3.1 6

3.2 10

第四章 遍历性13

第五章 数值模拟16

5.1 灭绝条件模拟16

5.1.1 16

5.1.2 16

5.2 遍历性模拟17

第六章 总结19

致谢21

参考文献22

1. 绪论

1.1引言

传染病具有许多传播途径，它的病原体能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播。传染源、传播途径和易感染者是传染病的传播和流行的三个重要的环节。

从古至今，人类的健康一直受到传染病严重的威胁。虽然经过人类的不断抗争和努力，诸如天花和霍乱等曾经严重威胁全球的传染病现在得到了有效的控制。但是一些新型传染病却不断出现。比如：从20世纪80年代开始至今，艾滋病一直严重地威胁着全人类；非典型性肺炎在2003席卷全国，十分严重地威胁到了人们的生命健康。一直以来，为了研究传染病，人们采用的途径有：建立传染病模型，通过模型对传染病传播过程进行描述，研究感染者数目的变化情况，探寻控制传染病的有效方法。

就现阶段来说，传染病的研究方法有很多种类，其中传染病的动力学研究是一种能够定性定量的方法。传染病的动力学研究能够从传染病传播的本质入手，很好并且有效的反映传染病传播过程的规律，让人们能够更好更全面的了解传染病的传播过程。

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