斐波那契数列的若干性质及应用

论文总字数：5494字

摘 要

关键词 斐波那契数列，花瓣数，植物叶序

Abstract This article introduce the basic formula of general term of Fibonacci series, and also introduce some things which have Fibonacci phenomenon in our life, and prove some of its properties and then discusses it in Mathematics in certain applications.

Keywords fibonacci sequence, the number of petals, phyllotaxis

目 录

1 前言···············································································4

2.斐波那契数列···································································· 4

2.1斐波那契数列的由来··························································4

2.2斐波那契数列的性质··························································4

3斐波那契数列的一些现象······················································· 8

3.1植物叶序与斐波那契数列···················································· 8

3.2树枝生长与斐波那契数列···················································· 9

3.3花瓣数与斐波那契数列······················································· 9

4斐波那契数列在数学中的应用··················································9

结论·················································································12

参考文献············································································13

致谢·················································································14

1 前言

斐波那契数列是意大利数学家斐波那契（公元1170年-1240年）在1202年撰写的《算盘书》一书中研究生小兔子问题时发现的．斐波那契数列的发现，使得我们生活中一些奇怪的现象得到合理的解释如花瓣数、植物的叶序等．由于斐波那契数列有着独特的魅力和能为一些奇怪现象作出合理的解释，所以斐波那契数列被广大科研工作者所喜爱．关于斐波那契数列的性质有很多论文都讨论过，如河南工业大学理学院屈红方的《斐波那契数列及其性质》等等．在这里，本文介绍了斐波那契数列的通项公式也就是它的基本性质^[1]、以及将研究一下斐波那契数列的一些简单性质^[2]、日常生活中与斐波那契数列有关的一些现象^[3]和斐波那契数列在数学方面的一些应用^[4]．

2斐波那契数列

2.1 斐波那契数列的由来

十三世纪初，意大利比萨的一位叫伦纳德，绰号为斐波那契的数学家在一本书名为《算盘书》的数学著作中，提出了一个有趣的问题：兔子出生以后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问一年以后共有多少对兔子（如果生下的小兔都不死的话）^[1]？

分析：如果我们将每月的兔子总数列出来，可以得到这样的数：

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...

兔子总数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 ...

所以一年后也就是第13个月，我们可以得到总共得到233对兔子．

仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第三个月开始，每月的兔子数是前两个月兔子数之和．就得到了这样的一个数列：我们用表示这列数，其中下标表示月份数，兔子数视为月份数的函数，并称它们为斐波那契数列，并且我们可以发现，它的后一项之和等于前两项之和．

我们可以得到．

• 1. 斐波那契数列的性质

通项公式^[1] 为非负整数，则 ．

是斐波那契数列的一个递推公式，我们可以根据这个递推公式推广它的一些其他性质．另外，我们还可以根据它的通项公式来推出其他的性质．

性质1 ．

证明　,,,.....，．

由此得

　　．

所以 ．

性质2 若，则．

证明　令，，则,．

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