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摘 要

关键词: 泰勒公式,数学分析,应用

Abstract：This article summarized the Taylor formula to calculate the limit, the root of existence proof, differential valuation function Inequality, definite integral calculation to determine convergence and divergence, and other aspects of the application.

Keywords: Taylor formula, Mathematical analysis, Application

目 录

1　引言 5

2 泰勒公式及其性质 5

2.1 泰勒公式几种余项表达式 5

2.2 泰勒公式的存在性 6

3 泰勒公式在数学分析中的应用 6

3.1 利用泰勒公式求极限 6

3.2 利用泰勒公式证明根的唯一存在性 7

3.3 利用泰勒公式证明涉及导数的不等式 8

3.4 利用泰勒公式证明函数不等式 9

3.5 利用泰勒公式判断函数的次数 10

3.6 利用泰勒公式判断级数的敛散性 10

3.7 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性 11

3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 12

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 引言

泰勒公式是数学分析中一个极为重要的内容,它能够将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和解决许多数学问题的重要工具．一直以来就是数学领域研究的热点,众多数学理论研究者在泰勒公式的研究方面取得了许多重要的成就,如优化数学分析的解题过程,丰富解题的思路,精简解题步骤．

徐新亚在文[1]中将泰勒公式运用到不等式的证明中, 于力、刘三阳在文[2]则研究了带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用, 齐成辉在文[3]较为系统论述了泰勒公式的应用,但文中没有涉及利用泰勒公式来判断不等式的次数．有关泰勒公式及其应用，有许多作者进行了研究，例如文献[4-10]．

本文的目的是进一步探讨泰勒公式在数学分析中的应用, 主要研究泰勒公式在求极限，证明根的存在唯一性，证明不等式，及判别级数与积分收敛性等方面的应用．

2 泰勒公式及其性质

2.1 泰勒公式几种余项表达式

2.1.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式

如果函数在点的某邻域内具有阶导数,则对此邻域内的任意点,有

,

其中称为佩亚诺（Peano）型余项．当时,上式称为带有佩亚诺（Peano）型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式,即

．

2.1.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式

如果函数在点的某邻域内具有阶导数,则对此邻域内的任意点,有,

其中介于与之间,称为拉格朗日（Lagrange）型余项．当时,上式称为带有拉格朗日（Lagrange）型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式,即

．

2.1.3 带有积分型余项的泰勒公式

如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数, 则对于任意的,可表示为的一个次多项式与一个余项的和,即

,

其中称为积分型余项,且当时,上式称为带有积分型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式,即

．

2.2 泰勒公式的存在性

泰勒公式的存在性即是将在点的某邻域内具有阶导数的展开成多项式的形式,利用中值定理并连续求导,根据对应项系数相等可得出多项式的各项系数．

3 泰勒公式在数学分析中的应用

3.1 利用泰勒公式求极限

求数列极限我们一般用归结原则,将数列极限问题转化为函数极限问题,即如果函数在点的某个空心邻域内有定义,那么存在的充要条件是：对任何含于并且以为极限的数列,极限都存在且相等．再利用泰勒公式将复杂的函数转化为简单的多项式函数进行求解．

例1　求极限的值．

解 由归结原则知

．

由带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式知

,,

于是有

,

因此

．

故

．

注：本题若利用洛必达法则进行求解需要对分子和分母进行多次求导,计算过程比较繁琐,而利用泰勒公式将非线性函数转化为线性函数就简化了计算过程．

3.2 利用泰勒公式证明根的唯一存在性

　　我们通常用根的存在性定理来证明根的存在,即如果函数在闭区间上连续,且与异号,那么至少存在一点,使得．并且,若函数在闭区间上是单调的,则这个点是唯一存在的．

　　例2　设在上二阶可导,且,,对一切,都有,证明：在内存在唯一的实数根．

证明　由于当时,,所以单调减少,而,因此当时,,故在内严格单调减少,在点处的泰勒展开式为

．

由题设,,于是有,从而必存在,使得,又因为,从而由连续函数的介值定理知,存在,使,由的严格单调性知是唯一的,因此函数在内存在唯一的实数根.

注：利用泰勒公式将抽象函数在点处展开,简化了解题过程．

3.3 利用泰勒公式证明涉及导数的不等式

当给定的函数二阶或者二阶以上可微时,我们用泰勒公式将其展开为简单函数,再来证明此不等式成立．

例3 设是定义在上的可微函数,并且二阶可微,且当时,有．证明：对一切,成立．

证明　由泰勒定理知,对一切,成立

,．

其中介于与之间,介于与之间．两式相减得：

,

等式两边同时加绝对值得

,

从而有

．

从而由题设条件可知

．

构造函数,其中．

易得的最大值是,因此,从而知,．

本题即证．

注：由于函数在上二阶可微,所以可以将其展开成带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式,这就将抽象函数展开成了简单的多项式函数．

3.4 利用泰勒公式证明函数不等式

如果在所要证明的函数不等式中,既有复杂函数又有简单的多项式函数,那么可以构造一个辅助函数,再利用泰勒公式将其展开为多项式函数.

例4　设,试证明．

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