逆向思维在初等数学解题中的应用

论文总字数：7924字

摘 要

关键词：逆向思维，数学解题，初等数学

Abstract ：The reverse thinking is an important way in solving mathematical problems of elementary mathematics. The use of reverse thinking makes many problems be solved smoothly or easily. The reverse thinking can be used in many problems that about algebra, trigonometry and geometry.

Keywords：Reverse thinking ,Mathematical problem solving,  Elementary Mathematics

目录

1 引言…………………………………………………………………………………………5

2 逆向思维解题的常用方法 ………………………………………………………………6

2 .1 分析法……………………………………………………………………………………6

2 .2 反证法……………………………………………………………………………………7

3 逆向思维在代数问题中的应用……………………………………………………………8

3.1逆用定义 …………………………………………………………………………………8

3.2逆用公式 …………………………………………………………………………………8

4 逆向思维在三角函数中的应用……………………………………………………………9

4.1三角函数的不等式 ………………………………………………………………………9

4.2 三角函数的公式逆运用…………………………………………………………………10

4.3 三角函数的化简…………………………………………………………………………10

5逆向思维在几何问题中的应用……………………………………………………………12

5 .1几何问题中的逆向思维…………………………………………………………………12

总结 …………………………………………………………………………………………16

参考文献………………………………………………………………………………………17

致谢……………………………………………………………………………………………18

1 引言

逆向思维是数学解题中一种重要的思维方式，所谓的逆向思维就是指与正向思维相反的思考方式。在求解数学问题时，通常采用的是正向思维，人文称之为解决问的正常途径，但有些时候，正向思维对一些题目则显得一筹莫展，若是改变思维方式，另辟蹊径，从反面去观察问题，从不同的角度使用不同的方法去思考和探索问题，往往会取得“柳暗花明又一村”的效果，逆向思维在数学的概念，公式，法则等方面都有所体现.

本文主要讨论的是逆向思维在初等数学中代数、三角函数及几何方面的应用。文献[1]，[2]，[3]等涉及了关于代数定义及公式的运用的逆向思维解题方法，文献[4]，[5]，[6]，[7]讨论了三角函数方面的逆向思维的运用，另外文献[8]，[9]涉及的一些有关几何问题的逆向思维解题的运用。本文在参考上述文献及[10-13]等文献的基础上探讨总结了一些关于逆向思维的运用的常用方法，得到了一些在使用逆向思维解题时后的个人感悟以及对逆向思维在解题时带来的简便感受，本文主要通过典型例题来分析逆向思维的应用，这些数学问题若是想运用常规的数学方式来解题，也就是常说的正向思维来解决的话，往往会显得很麻烦，有些时候甚至是无从下手，但当我们转变原有的思路之后，采用逆向思维的话则使问题展示的其简便的一面，是原本看上去毫无头绪的问题迎刃而解，而且解题方式显得那么的简洁与灵活，进而很好的展示了数学解题的魅力。

运用逆向思维解决初等数学问题的题目是不胜枚举的，我们自然是无法一一例举，本论文主要是通过对一些具有代表性的典型例题的讨论，有的采用对比的方式，通过正反两面的对比使我们可以很清楚的看到同样的一道题目，在不同的解题方式的情况下展现出来的不同处理方法，通过正、反两种方式解题的对比，使我们越发清楚的感受到有些问题通过逆向思维来解决的话，其简便的程度往往会远远比正向思维简便的很多，而且逆向思维在解题时往往采用的是另辟蹊径的方式，以这样的方式来解决一些数学问题时，往往会使我们能够感受到一种喜悦，这种喜悦源于数学的魅力，这种魅力则会是我们更加的喜欢数学，喜欢数学解题时带来的喜悦，进而形成一种良性的循环。

逆向思维的运用将会使我们的数学解题不再那么的单一，也使数学解题不再枯燥，学会使用逆向思维来解决一些数学问题将会是我们的数学学习更加的丰富多彩，也将使数学解题更加的有意义。

2 逆向思维解题的常见方法

2.1 分析法

分析法是由问题的结果来探寻原因，从结论出发，探究想要得到既定的结论之前应该得到的条件，再寻求得到这一条件的前提条件是什么，继而探求遇得到该前提条件需要哪些已知条件，以此类推下去，一步步的逆推到已知的条件，然后将分析的过程倒过来也就得到了我们想要的解题过程了。

例1：.

显然很难奏效，但当我们采用逆向思维来讨论的话就会容易很多。

证明：

欲证 ，

左边展开，整理即证 ，

即证明 ，

即证明 ，

即证明 ，

因为 ，

即证明 ，

即证明 ，

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